1r ciclo Integral sobre un cilindro (Stokes)

[Macbereth]

Sea $F=2yx\hat{\imath} +(-x+3y+z)\hat{\jmath} +({x}^{2}+z) \hat{k}$, Evaluar $\int _s(\nabla \times F).ds$, donde S es el cilindro $x^2+y^2=a^2, 0\leqslant x\leqslant 2\pi$ (sin tapa ni parte inferior). ¿Que sucede si se incluye la tala y la parte inferior?
La duda que tengo basicamente radica sobre cuestion de plateamiento, como propongo la parametrización para hacerlo por teoremoa de Stokes, y la consideracion de no tomar las tapas del cilindro tampoco se como considerarlas, espero puedan pasar algun tip

[polonio]

Re: Integral sobre un cilindro (Stokes)

Haz, simplemente, lo que nos dice el teorema de Stokes: iguala el flujo del rotacional a la circulación sobre la curva (cerrada) $C$ en la que se apoya el cilindro:

$\int _S (\vec{\nabla} \times \vec{F}) \cdot \vec{dS} = \oint _C \vec{F}\cdot \vec{dr}$

Cuando incluyes la base inferior y la tapa, la superficie es cerrada...

Para poder trabajar bien, usa coordenadas cilíndricas (ésta es la parametrización que buscas), verás cómo te sale todo mucho más simple.

[Macbereth]

Re: Integral sobre un cilindro (Stokes)

si algo asi me imagine, pero mmm ahora tengo la duda de la parametrizacion, cuando intento hacer la integral de linea, tengo la parte de las coordenadas polares donde el parametro varia de 0 a 2pi, pero el parametro de altura tendria q meterlo como un parametro independiente al del plano, y en la integral de linea como supongo eso, seria como una doblke integral o q onda?
Ahora tengo entendido que la parte del teorema de Stokes, dice q es sobre el contorno, si es sobre el contorno supongo z=0?

[Jose D. Escobedo]

Re: Integral sobre un cilindro (Stokes)

A mi me da la impresion de que es mas facil hacerlo directamente.

Primero calculas $\dst \vec{\nabla} \times \vec{F} = -\hat{i} -\hat{j}2x -\hat{e_z} (1+2x)$ que fue lo que calcule si no cometi un error, sin olvidar que $x= a \cos \phi$.

Luego lo multiplico (dot product) por la forma diferencial de la superficie: $\dst \hat{e_\phi} a d \phi \times \hat{e_z}dz= \hat{e_r} a d \phi dz$

Despues calculas el dominio de una parte de la superficie y luego de la otra.

$\dst 0 \leqslant z \leqslant h$ y $\dst \cos^{-1}( \frac{2 \pi }{a }) \leqslant \phi \leqslant \frac{\pi }{2 }$ para una de las superficies y $\dst- \frac{\pi }{2 } \leqslant \phi \leqslant -\cos^{-1}( \frac{2 \pi}{a })$ para la otra con la misma altura. Sin olvidar que esto tiene sentido unicamente si $a \geqslant 2 \pi \geqslant 0$.

Finalmente integrar

Saludos
Jose

[Macbereth]

Re: Integral sobre un cilindro (Stokes)

bueno ya lo hice por este metodo josé, pero en realidad como es un ejerfcicio q no es de trare mas bien es un ejercicio q encontre en un libro me quede con la dud de como se resolveria por la segunda parte de la igualdad, la parte de la integral de linea, por cierto el resultad se supone q es $2\pi a$

[polonio]

Re: Integral sobre un cilindro (Stokes)

Si lo haces en cilíndricas, por ejemplo, que es la parametrización más conveniente, la base inferior se parametriza como:

$\rho = a$
$z=0$
$\vec{dr}=a\dd \phi \vec{u_\phi}$

Y para la superior:

$\rho = a$
$z=h$
$\vec{dr}=a\dd \phi \vec{u_\phi}$

Eso, sí, cambia el campo vectorial a cilíndricas también:

$x=\rho \cos \phi$
$y=\rho \sin \phi$
$z=z$

A ver así puedes...

[Jose D. Escobedo]

Re: Integral sobre un cilindro (Stokes)

bueno ya lo hice por este metodo josé, pero en realidad como es un ejerfcicio q no es de trare mas bien es un ejercicio q encontre en un libro me quede con la dud de como se resolveria por la segunda parte de la igualdad, la parte de la integral de linea, por cierto el resultad se supone q es $2\pi a$

Si te resulto esto $2 \pi a$ usando $\int \vec \nabla \times \vec F \cdot d \vec S$, muestrame tus calculos que yo te mostrare como se hace con $\oint \vec F \cdot d \vec r$.

Saludos
Jose