Otras carreras Cálculo de un limite sencillo

[Blasco]

Estaba calculando el siguiente límite.

$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{{x}^{2}+x}-\sqrt{{x}^{2}-x}$

Multiplicando y dividiendo por el conjugado me resulta el límite = 1

Quise repetir el límite haciendo el cambio x=-t convirtiendolo en un límite cuando t tiende a +$\infty$

$\lim_{t \to \infty} \sqrt{{t}^{2}-t}-\sqrt{{t}^{2}+t}$

El resultado de este límite utilizando el mismo procedimiento anterior me sale -1.

No entiendo el porqué de este resultado o si hay algún error de concepto en lo que estoy haciendo.

Alguien puede ayudarme?

Muchas gracias.

[DamianV]

Re: Cálculo de un limite sencillo

Hola, el tema es que estás haciento tender T a mas infinito. Cuando hacés un cambio de variable en cualquier ámbito, tenés que cambiar todo por lo equivalente. En tu caso como x=-t, si x->inf, entonces t->-inf. Perdón pero soy nuevo y no sé escribir en latex acá o sea cual sea el estilo que usan

[Blasco]

Re: Cálculo de un limite sencillo

Muchas gracias, pero eso lo he tenido en cuenta, el primer límite lo hago con $X\to -\infty$ y el segundo con $t\to \infty$

[Al2000]

Re: Cálculo de un limite sencillo

Ambos límites dan -1. Debes estar cometiendo un error al meter un número negativo bajo el signo de radicación.

Saludos,

Al

[Blasco]

Re: Cálculo de un limite sencillo

Así es como estoy calculando el primero para que me de 1:
Puede que tengas razón pero aún no lo veo, lo siento.

$\lim_{x \to -\infty}\sqrt{{x}^{ 2} +x} -\sqrt{{x}^{ 2}-x }=\lim_{x \to-\infty} \frac{{x}^{2}+x-{x}^{ 2} +x}{ \sqrt{{x}^{ 2} +x} +\sqrt{{x}^{ 2}-x }} =\lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{ \sqrt{{x}^{ 2} +x} +\sqrt{{x}^{ 2}-x }}$

Dividiendo por x numerador y denominador resulta :

$\lim_{x \to -\infty}\frac{2}{1+1} =1$

[DamianV]

Re: Cálculo de un limite sencillo

No podés dividir el denominador entre x, o sea, podés si pero no te va a dar uno.
$\sqrt{x^2+x}=\sqrt{x(x+1)}$ si dividís eso entre x te va a quedar esa misma expresión sobre x, lo mismo para el otro término, sólo que va a ser un x-1 bajo la raíz.

[Al2000]

Re: Cálculo de un limite sencillo

Así es como estoy calculando el primero para que me de 1:
Puede que tengas razón pero aún no lo veo, lo siento.

$\lim_{x \to -\infty}\sqrt{{x}^{ 2} +x} -\sqrt{{x}^{ 2}-x }=\lim_{x \to-\infty} \frac{{x}^{2}+x-{x}^{ 2} +x}{ \sqrt{{x}^{ 2} +x} +\sqrt{{x}^{ 2}-x }} =\lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{ \sqrt{{x}^{ 2} +x} +\sqrt{{x}^{ 2}-x }}$

Dividiendo por x numerador y denominador resulta :

$\lim_{x \to -\infty}\frac{2}{1+1} =1$

Hay que tener pie de plomo cuando haces una operación dentro de una raiz, algo que hace uno con mucha frecuencia y mucho descuido. Convéncete con esta demostración de que 1 es igual a -1:

$$- \sqrt 1 = -1$$

$$\sqrt {(-1)^2 \times 1} = -1$$

$$\sqrt {1 \times 1} = -1$$

$$1 = -1$$

En el último paso de tu cálculo dividiste el denominador por una cantidad negativa, $x$, pero al "meter" $x$ dentro de la raiz la elevaste al cuadrado y perdiste la información del signo. Ya que $x$ es negativa, la puedes escribir como $x = - |x|$ y, dejando el signo afuera, "meter" bajo el signo de raiz la cantidad $|x|$. Entonces obtendrás el límite correcto, que es el mismo que obtienes cuando haces el cambio $t = - x$ y trabajas con un límite positivo.

Saludos,

Al

PD. Si pones el comando \dst al principio de tus ecuaciones, te quedarán mejor pues no saldrán tan chiquitas.

[Blasco]

Re: Cálculo de un limite sencillo

Ok siempre se aprende algo, parece que hay que tenr mucho cuidado, esta página , el ejercicio 3, me confundió un poco
http://www.vitutor.com/fun/3/a_a.html

Saludos

[Al2000]

Re: Cálculo de un limite sencillo

El mismo error que te mencioné antes. Te copio el límite calculado de las dos formas usando el Mathcad:



Saludos,

Al

[Blasco]

Re: Cálculo de un limite sencillo

Por mi parte tema cerrado, la explicación fué clarísima y convincente.
Muchas gracias.