1r ciclo limite por taylor

[kyubirr]

hola queria preguntaros como podria hacer este limite por taylor; podria hacerlo por L´Hôpital pero como me lo piden por este metodo que es mucho mas corto me pierdo al hacerlo

$\dst \lim_{x \to 0} \frac{({e}^{x}-1)(x-\sin (x) }{{(x-Ln(1+x))}^{2} }$

entonces yo lo que hago es sutituir las funciones ${e}^{x}, \sin (x), Ln(1+x)$ por su formula de taylor en x=0 hago todas de orden 3, pero luego no se seguir porque me sigue quedando la indeterminacion 0/0 y hay (que creo que esta mal) es dividir entre x^3 para obtener $\frac{\infty }{\infty}$ y como son del mismo orden sacar los coeficientes

os lo pongo que quedará mas claro

$\dst \lim_{x \to 0} \frac{(x+\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{x}^{3}}{3!}+o({x}^{3}))(\frac{{x}^{3}}{3!}+o({x}^{3}))}{{(\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{x}^{3}}{3}+o({x}^{3}))}^{2}}$

[DamianV]

Re: limite por taylor

El límite da cero, no te queda indeterminado, si evaluás la última expresión que pusistes el denominador es 1 y el numerador 0, igualmente creo que hubieras llegado antes a ese resultado, y para ser estrictos sí, siempre tenés que eliminar ese resto dividéndolo entre x^(el último orden del desarrollo que hicistes) (1), porque lo único que sabés es que el resto sobre la norma de (1) tiende a cero si x tiende a cero

[kyubirr]

Re: limite por taylor

jeje perdona pero habia escrito mal el limite, ya me estaba tirando de los pelos
lo he corregido y el limite era en verdad asi y ya si tenemos la indeterminacion xD
y sigo sin saber si alguien me hecha una mano

[Al2000]

Re: limite por taylor

En las expansiones que pusiste en tu primer mensaje debería decir $\mathcal O (x^4)$. Cuando $x \to 0$, los términos de orden $x^4$ y superiores serán despreciables frente al resto de los términos de menor grado. Te queda entonces que

$$\lim_{x \to 0} \frac {(\ee^x - 1) (x -\mathrm {sen} \, x)}{ [x - \ln (1+x)]^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac {\dst \left (x +\frac{x^2} 2 + \frac {x^3} 6 \right ) \left (\frac {x^3} 6 \right )}{\dst \left (\frac {x^2} 2 - \frac {x^3} 3 \right )^2}$$

que puedes simplificar cancelando $x^4$ en numerador y denominador para llegar al valor del límite.

Saludos,

Al

[DamianV]

Re: limite por taylor

No tenés por qué hacer el Taylor del mismo orden para cada pedacito. Mirá, haciendo de orden 1 la exponencial, de orden 3 el seno y de orden 2 el logaritmo ya alcanza. Te quedaría algo así.
$\dst \lim_{x \to 0} \frac{(x+o({x}))(\frac{{x}^{3}}{3!}+o({x}^{3}))}{{(\frac{{x}^{2}}{2}+o({x}^{2}))}^{2}}$
Entonces si desarrollás eso y dividís el numerador y el denominador sobre $x^4$
te queda 2/3 mas todos los restos divididos entre lo que tienen que quedar divididos para tender a cero, es bastante lindo a la vista ver como calzan exactamente los restos con los denominadores que necesitan.