Divulgación integral{derivada[f(x) + C]}=f(x) + C + ?

[natanael]

Hoy en la universidad con un compañero de clases nos pusimos a hacer sencillas demostraciones hacerca de la operacion inversa a la derivación, lo hicimos para $\dst y=x^2$ y todo bien, funcionó. Pero luego quisimos hacerlo para $\dst y=\dfrac{x+1}{x-1}$ , entoces nó nos dió el resultado. Que prodriamos haber hecho mal en el procedimiento...

$$\dst y=f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$$

$\dst \dd y=\dd \left( \dfrac{x+1}{x-1} \right)$

$\dst \dd y= \dfrac{(x-1)\dd (x+1)-(x+1)\dd (x-1)}{(x-1)^2}$

$\dst \dd y= \dfrac{x\dd x -\dd x -x\dd x -\dd x}{(x-1)^2}$

$\dst \dd y= \dfrac{-2\dd x}{(x-1)^2}$

Ahora aplicamos la operacion inversa y deberíamos llegar a (1).

$\dst \int \dd y= \int \dfrac{-2\dd x}{(x-1)^2}$

$\dst y= -2\int (x-1)^{-2} \dd x$

Hacemos el cambio de variable $\dst u=x-1 \to \dd u=\dd x$

$\dst y= -2\int u^{-2} \dd u$

$\dst y= -2\left( \dfrac{u^{-1}}{-1 } \right)+C$

$\dst y= \dfrac{2}{u} + C$

Devolviendo el cambio $\dst u=x-1$

$$\dst y=g(x)= \dfrac{2}{x-1} + C$$

Ahora!, porque rayos (1) no es igual a (2)?

Mi solucion fué ésta, pero quería ver que dicen ustedes, si el hacer esto es válido, porque si me gasto la constante C de (2), en hacer que la curvas f(x) y g(x) coincidan, entoces donde está la otra constante que hace que el proceso de integracion de como resultado una familia de curvas, no sé si me entienden pero a esto me refiero...

$\dst f(x)=g(x) \to f(x)-g(x)=0 \to \dfrac{x+1}{x-1}-\left( \dfrac{2}{x-1} + C \right)=0$

$\dst \dfrac{x+1}{x-1}-\dfrac{2}{x-1} - C =0$

$\dst \dfrac{x^2-1-2x+2}{x^2-2x+1} =C \to C=1$

Entoces ahora la curva coincide al sustituir C=1 en (2)...

$\dst y=g(x)=\dfrac{2}{x-1}+1 \to g(x)=\dfrac{2+x-1}{x-1}$

$\dst g(x)=\dfrac{x+1}{x-1}=f(x)$

Yo diría que el porblema radica es en el cambio de variable, pero no logro verlo, no sé , que piensan ustedes.

[DamianV]

Re: integral{derivada[f(x) + C]}=f(x) + C + ?

Está bien lo que hicistes, vos partís de una curva $y=f(x)$. Al vos derivarla, cualquier constante que estuviera sumada desaparece y después al primitivizar vuelve a aparecer pero como una constante genérica. No sé donde te estás mareando, pero eso de que (1) no es igual a (2) es porque son diferentes objetos, (1) es una función, (2) es una familia de funciones en la cual (1) está incluida, para cierta constante que bien hallaste. El cambio de variable está bien, todo está bien, solo que estás comparando un conjunto con un elemento, de ahí tu confusión.

[natanael]

Re: integral{derivada[f(x) + C]}=f(x) + C + ?

No sé donde te estás mareando, pero eso de que (1) no es igual a (2) es porque son diferentes objetos, (1) es una función, (2) es una familia de funciones en la cual (1) está incluida, para cierta constante

Gracias, aun así no lograba concebir como $\dst y=f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}=g(x)=\dfrac{2}{x-1}+C$ , por ejemplo en una de las ecuaciones canónicas de la parabola $\dst y=\pm(x-x_1)^2+y_1$ , donde $\dst y_1$, puede tomar cualquier valor siendo una constante, no altera la estructura algebrica de $\dst \pm(x-x_1)^2$, entonces yo pensaba que para un caso general $\dst y=f(x-x_1)+y_1$ , entonces $\dst f(x-x_1)$ no cambiaría su estructura matematica, pero estoy viendo que no es así ya que la $\dst \dd y=\dd \left[ f(x) \right] =\dfrac{-2\dd x}{(x-1)^2}$ es igual a la $\dst \dd y=\dd \left[ g(x) \right] = \dd\left( \dfrac{2}{x-1} + C \right) =\dfrac{-2\dd x}{(x-1)^2}$ , por lo tanto f(x) y g(x) tendrían comportamiento identicos para los mismos valores de x, por ejemplo la taza de crecimiento y decrecimiento sería iguales, o si tuvieran algun punto máximo o minimo ocurrirían para el mismo valor de x.

Gracias agradezco tu ayuda.