1r ciclo Circunferencia osculatriz a una hélice

[DamianV]

Sea $\gamma (t)$ la hélice dada por $\gamma (t) = (a\cos(\omega t),a\sin (\omega t),b\omega t)$.
De manera que $\omega^2 =\frac{1}{a^2+b^2}$ así queda parametrizada por longitud de arco. Mi idea para hacer la circunferencia osculatriz es la siguiente, y creo que es una idea que se puede generalizar para resolver el problema de parametrizar una circunferencia en el espacio que no sea paralela a ninguno de los pares de ejes.
Bien, dado un instante $t_0$, obtener el triedro de Frenet para la hélice (podría ser cualquier curva) de ese instante. Como dije antes, la circunferencia no tiene por qué ser horizontal ni vertical, PERO, si lo va a ser cambiando el punto de vista del observador, a lo que voy es, agarrar el centro de la circunferencia en cuestión, que va a venir dado por $C=\gamma + r\hat{n}$ todo esto evaluado en $t=t_o$ donde r es el radio de curvatura de ese punto. Entonces....
(1)
Aplicarle el cambio de base a $C$, donde la matriz de cambio de base es colgar en las columnas los versores tangente, normal y binormal (en ese orden).
(2)
Construir la circunferencia en esa base, que va a ser mucho más fácil $\alpha (t)=(r\cos(t)+C_t,r\sin(t)+C_n,C_b)$.
(3)
A esa fórmula llevarla de nuevo a la base canónica multiplicándola por la inversa de la matriz que obtuvimos.

La idea me parece sólida y correcta, sin embargo al llevarlo a la práctica me encuentro que no da gráficamente lo que yo esperaba, uso el Mathematica para procesar los datos, hice este pseudo programa

Clear[t, a, b, w, M, to, o, q, L, uo, vo, so, u, v, s, A, c];
to = 6; a = 1; b = 1/10; w = (a^2 + b^2)^(-1/2);
M = {{-a*w*Sin[w*to], -Cos[w*to],
b*w*Sin[w*to]}, {a*w*Cos[w*to] , -Sin[w*to], -b*w*Cos[w*to] }, {b*
w, 0, a*w}};
o = {Cos[w*to]*(a - (1/a*w^2)), Sin[w*to]*(a - (1/a*w^2)), b*w*to};
q = M.o; L = Inverse[M]; uo = q[[1]]; vo = q[[2]]; so = q[[3]];
u = (1/(a*w^2))*Cos[t] + uo;
v = (1/(a*w^2))*Sin[t] + vo;
s = so;
c = {u, v, s};
A = L.c;
ParametricPlot3D [{{A[[1]], A[[2]], A[[3]]}, {a*Cos[t*w], a*Sin[t*w],
b*t*w}}, {t, -4, 20}]

Sin embargo si alguien lo puede correr, se puede ver que el resultado no es el esperado, (se pueden variar a,b y to al principio) otra cosa que me sorprende son las coordenadas de $C=(\cos(\omega t)(a-\frac{1}{a\omega^2},\sin(\omega t)(a-\frac{1}{a\omega^2}),b\omega t)$
Cuando yo creo que la cefa debería estar centrada en el eje z, pero bueno, capaz que no, no se.
Si alguien ve el (los) error(horror(es)), o tiene una idea más sencilla lo invito a responder.
Porque la otra que se me ocurre es plantear la intersección de una esfera y un plano , pero es agachar la cabeza y hacer cuentas, cosa de la que no soy fanático para nada.
Mi idea era hacer un programita con el comando Manipulate en to e ir recorriendo la hélice, lo pude hacer con la reca tangente y el polinomio de Taylor en $\mathbb{R}^2$ y es bastante lindo verlo (si, ya sé tengo que conseguirme una novia).
Saludos.

[DamianV]

Re: Circunferencia osculatriz a una hélice

Bueno, no sé si a alguien le importa pero al fin lo pude hacer, los errores eran triviales
o = {Cos[w*to]*(a - (1/a*w^2)), Sin[w*to]*(a - (1/a*w^2)), b*w*to};
en esa línea no estaba dividiendo entre a omega cuadrado, estab dividiendo entre a y multiplicando por omega cuadrado (MALDITOS PARÉNTESIS). Y el otro error no tan trivial era que las matrices de cambio de base estaban al revés, para escribir un vector de la base canónica en otra base, hay que multiplicar la matriz inversa de colgar la base en las columnas por dicho vector, o sea, al revés de lo que intuitivamente uno piensa, eso pasa por andar escuchando Pantera en la clase de álgrebra lineal. Bueno les dejo una escrincapeada y voy a ver si puedo compactar el código en un manipulate, si alguien después lo quiere se lo paso por acá.


Out[1217] Y...es como dicen. 'La milesimoducentesimodecimoséptima es la vencida'... no sé, algún número primo era.