1r ciclo Despejar incógnita (ecuación vectorial)

[skinner]

Buenas. Tengo la siguiente ecuación vectorial:

$$\left(\vec{\omega} \wedge \vec{{v}_{x}} \right) =\left( \vec{\omega}\wedge \vec{v} \right) +\vec{\omega}\wedge \left[\vec{\omega}\wedge \vec{OX} \right]$$

Me piden despejar $\vec{OX}$ ... ¿cómo se desarrollaría en este caso el doble producto vectorial? ¿cuál es la forma general para resolver dobles productos vectoriales? Suponiendo que sé hacer el doble producto vectorial, tendríamos:

$$\left(\vec{\omega} \wedge \vec{{v}_{x}} \right) =\left( \vec{\omega}\wedge \vec{v} \right) +\vec{\omega}\wedge \left[\vec{\omega}\wedge \vec{OX} \right] = \left( \vec{\omega}\wedge \vec{v} \right)+\vec{\omega}\cdot \left(\vec{\omega}\cdot \vec{OX} \right)-\vec{OX}\cdot \left(\vec{\omega}\cdot \vec{\omega} \right)$$

¿Cómo despejaría $\vec{OX}$ ? Yo hago lo siguiente; como $\vec{\omega}\cdot \left(\vec{\omega}\cdot \vec{OX} \right)=\left(\vec{\omega}\cdot \vec{\omega}\right)\cdot \vec{OX}$ entonces el segundo miembro queda:

$$\boxed {\left(\vec{\omega} \wedge \vec{{v}_{x}} \right) = \left( \vec{\omega}\wedge \vec{v} \right)+\left(\vec{\omega}\cdot \vec{\omega} \right)\cdot \vec{OX} -\vec{OX}\cdot \left(\vec{\omega}\cdot \vec{\omega} \right)}$$

Anulándose así

$$\left(\vec{\omega}\cdot \vec{\omega} \right)\cdot \vec{OX} -\vec{OX}\cdot \left(\vec{\omega}\cdot \vec{\omega} \right)=\vec{0}$$

¿Qué puedo hacer?

Mil gracias y un saludo

[Al2000]

Re: Despejar incógnita (ecuación vectorial)

...
¿Cómo despejaría $\vec{OX}$ ? Yo hago lo siguiente; como $\vec{\omega}\cdot \left(\vec{\omega}\cdot \vec{OX} \right)=\left(\vec{\omega}\cdot \vec{\omega}\right)\cdot \vec{OX}$ entonces el segundo miembro queda:
...

Cuidado, eso no es cierto. El lado izquierdo es un vector paralelo al vector $\vec \omega$ mientras que el lado derecho es un vector paralelo al vector $\vec {OX}$.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Despejar incógnita (ecuación vectorial)

Muchas gracias por la concisión. Y ahora, ¿cómo despejo el vector $\vec{OX}$?

Un saludo! Gracias

[Al2000]

Re: Despejar incógnita (ecuación vectorial)

No creo que sin mas condiciones se pueda resolver. Aclárame un par de puntos... ¿$\vec v_x$ es el vector componente $x$ de $\vec v$, es decir, $\vec v_x = (\vec v \cdot \vec u_x)\,\vec u_x$? De manera análoga, ¿$\vec {OX}$ es el vector componente $x$ del vector posición $\vec r$, es decir $\vec {OX} = (\vec r \cdot \vec u_x)\,\vec u_x$?

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Despejar incógnita (ecuación vectorial)

Claro que te los aclaro, mira:

$\vec{{v}_{x}}$ no tiene nada que ver con el vector $\vec{v}$. En mi problema (es de física), $\vec{{v}_{x}}$ representa la velocidad mínima (o tercer invariante) de un sólido rígido; de manera análoga, $\vec{OX}$ es un vector que parte del origen y llega hasta un punto $X$, el cual tendrá velocidad mínima. Nuestro objetivo es: sabiendo cuál es la reducción cinemática del sistema $\left\{ \vec{\omega}, \vec{v} \right\}$ (es decir, el vector rotación del sólido y la velocidad $\vec{v}$ de un punto cualquiera del mismo), encontrar aquellos puntos $X$ tales que $\vec{{v}_{x}}$ sea mínima (tales que su velocidad sea mínima). Como dato extra que se deriva de los de arriba, $\vec{{v}_{x}}$ será PARALELO a $\vec{\omega}$

Muchísimas gracias y espero que haya aclarado algo para que, amablemente,, puedas ayudarme a resolver el problema.

Un saludo y muchas gracias