1r ciclo probar que una funcion es biyectiva

[kyubirr]

hola me gustaria que me echaseis una mano con este ejercicio porque ando muy perdido

si tenemos una funcion continua que en todo su dominio (que son los reales) y derivable tambien en todo su dominio y sabemos que su derivada $\dst f'(x)>{10}^{-2}$
para cualquier valor de x, probar que es biyectiva
me recomiendan usar el Teorema del Valor Medio

si podeis dar alguna indicacion de como empezar y sobre todo me despista que la derivada sea mayor que un valor fijo y no que 0 u otra cosa

muchas gracias

[DamianV]

Re: probar que una funcion es biyectiva

El tema es que la derivada sea estrictamente positiva, eso implica que la función es estrictamente creciente. Para probar que es inyectiva podés hacerlo por absurdo, suponete que hay dos valores de f iguales para dos distintos de x, entonces por el teorema de Rolle (que es un caso particular de valor medio), existe un punto en el medio tal que su derivada es cero, pero la derivada es estrictamente positiva por como está definida la función.
Y para la sobreyectividad también podés suponer que está acotada superiormente, entonces o tiene un máximo, cosa que no puede por tener derivada estrictamente positiva, o se pega asintóticamente a esa cota, pero si esto pasara, la derivada sería tan chica como vos quieras, pero la derivada es mayor que cierto valor positivo, así que ahí se da un absurdo también. Para la cota inferior sería el mismo razonamiento. Fijate que si la derivada fuera mayor estricrta que cero, esto último no sería cierto, imaginate la función arcotangente.

[GNzcuber]

Re: probar que una funcion es biyectiva

Hola kiubirr,

Que la derivada en cada punto sea siempre mayor que un número positivo, como en este caso, o siempre sea menor que en un número negativo nos indica que la función es biyectiva, ya que si en algún punto fuese cero, podría pasar que pase la derivada de positiva a negativa, es decir, que la función crezca y decrezca, eso quiere decir que habrá al menos dos puntos con una misma imagen, en consecuencia no es inyectiva, y por lo tanto tampoco biyectiva.

El Teorema del Valor Medio de Lagrange dice: "Una función continua en un intervalo cerrado [a,b], y diferenciable en (a,b), entonces existe un punto intermedio c tal que su pendiente sea igual a la pendiente que forman los puntos a y b".

Lo he dicho un poco a mi manera . Su fórmula es

$$\dst f(b)-f(a)=f'(c) \cdot (b-a), \qquad c \in (a,b)$$

Lo que se me ocurre es que podemos probar la inyectividad con la idea anterior.

Sean a, b, dos valores diferentes del dominio de una función (en los reales en este caso), con el teorema del valor medio tenemos, y la condición del enunciado tenemos: $\dst f(b)-f(a)=f'(c) \cdot (b-a) > 10^{-2}(b-a)$, y como $\dst a \neq b$ por construcción, tenemos que $\dst f(a) \neq f(b)$.

Para probar que es exhaustiva, supongo que podemos apoyarnos en el enunciado, que dice "... una función que en todo su dominio es continua y derivable ..." (transcrito a mi manera ), y por lo tanto tenemos que para cada par de puntos $\dst a,b \in D_f$ se cumple la condición anterior y la existencia de imagen y derivada.

Con esto la función que cumple esas condiciones es biyectiva.

No tomes lo que yo digo como última palabra, sólo quiero ayudar y normalmente cometo errores.

¡Saludos!