1r ciclo Raíz cuadrada con Moivre

[Afisionado]

Hola.

Necesito ayuda con un ejercicio que en el libro tiene una solución pero no entiendo como llega a ella.

Se trata de resolver:

$\sqrt{-4i}$

El primer paso es convertirlo a la forma trigonométrica:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Ahora, según yo entiendo que se aplicaría la fórmula de Moivre para hallar la raíz cuadrada, quedaría

$= 2\left[\cos(-\frac{\pi}{4})+i \sin(-\frac{\pi}{4}) \right]$

sin embargo, según el libro, la solución es

$= 2\left[\cos(-\frac{\pi}{2})+i \sin(-\frac{\pi}{2}) \right]$

¿Qué estoy haciendo mal? ¿Tiene que ver con que el argumento es negativo?

Gracias por las respuestas.

[arreldepi]

Re: Raíz cuadrada con Moivre

Hola, a mí también me da tu solución, aunque te falta una, en estos casos te recomiendo es pasarlo a la forma exponencial:

$$z=x+iy=r\eee{i\theta}$$

donde

$$r = \sqrt{x^2+y^2}\qquad\qquad \theta = \arctan\frac{y}{x}$$

En tu caso tienes $-4 i$, con lo cual $r= 4$ y $\theta = -\frac{\pi}{2}$, si escogemos $\theta\in[-\pi,\pi)$ (serían $\frac{3\pi}{2}$ para la determinación $\theta\in[0,2\pi)$


Así que tenemos

$$\sqrt{4\eee{-i\pi/2}} = \left(4\eee{-i\pi/2}\right)^\frac{1}{2} = 2\eee{i(-\pi/4 + k\pi}$$

Tienes dos soluciones! La raíz cuadrada es una función bivaluada, al dar una vuelta al círculo no vuelvo al mismo punto (en este caso, tienes una solución positiva y otra negativa).

Utilizando la fórmula de Euler:

$$k=0\qquad\to\quad2\left(\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac\pi 4\right)$$

$$k=1\qquad\to\quad2\left(\cos\frac{3\pi}{4}-i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$$

Saludos!

[Afisionado]

Re: Raíz cuadrada con Moivre

Gracias, Arreldepi. Por un momento pensé que me faltaba por ver algún apartado de la teoría, pero ya veo que no. Tengo que hacer más problemas de complejos, de modo que no descarto nuevas consultas.

Un saludo!