Secundaria Volumen de un líquido en un tanque cilíndrico

[H2SO4]

A ver si alguien me echa una mano con el siguiente problema:

Determinar el volumen V de líquido contenido en un tanque cilíndrico "tumbado" horizontalmente, de longitud L y radio R, si conocemos la altura h que alcanza el líquido en el tanque.

Edito: No sé por qué aparece dos imágenes; ¿no se pueden borrar? Creo que está más clara la segunda.

Saludos

[Al2000]

Re: Volumen de un líquido en un tanque cilíndrico

El área de un segmento circular es $\dst A = \frac 1 2 R^2 (\theta - \mathrm {sen} \, \theta )$, siendo $\theta$ el ángulo subtendido por los radios en O. Sólo te queda ponerlo en función de $h$ y multiplicar por $L$.

Saludos,

Al

PD. Mira este mensaje para ver como queda el área en función de la altura ($x$ en ese mensaje).

[H2SO4]

Re: Volumen de un líquido en un tanque cilíndrico

Muchas gracias, Al2000. La verdad, es un poco lioso. Será mejor ir calculando resultados parciales con los datos en vez de tratar de encontrar una expresión "definitiva". Pero me queda claro.

Saludos

[Al2000]

Re: Volumen de un líquido en un tanque cilíndrico

Je je, mas lioso sería si las tapas de los extremos del cilindro fuesen casquetes esféricos como es usual

Saludos,

Al

[H2SO4]

Re: Volumen de un líquido en un tanque cilíndrico

Ya se sabe, cuando algo puede empeorar...

De hecho el tanque es así, pero ya he hecho la aproximación considerando los extremos planos. En realidad, casi lo son. Gracias.

Saludos

[bertolet]

Re: Volumen de un líquido en un tanque cilíndrico

El área del sector circular viene dado por $\dst A_s=\frac{1}{2} \theta R^2$. Podemos expresar este ángulo en función de la altura sin más que observar el triángulo rectángulo que se forma con hipotenusa $R$ y catetos $x$ y $R-h$. Así, rápidamente se ve que $\dst \cos {\frac{\theta}{2}} =\frac{R-h}{R}$, de donde $\dst \theta =2 \text{arccos} \frac{R-h}{R}$, luego $\dst A_s=R^2 \text{arccos} \frac{R-h}{R}$.

A este área debe restársele el del triángulo que tiene por lados los radios $R$ y la superficie del líquido, de longitud $2x$. Por el teorema de Pitágoras, $x=\sqrt{R^2-(R-h)^2}$, luego $A_t=\frac{1}{2} 2x (R-h)=(R-h)\sqrt{R^2-(R-h)^2}$. Y, el área en función de la altura viene dada por:
$\dst A(h)=R^2 \text{arccos} \frac{R-h}{R}-(R-h)\sqrt{R^2-(R-h)^2}$.

Por tanto, finalmente, el volumen será:
$\dst V(h)=L\left[ R^2 \text{arccos} \frac{R-h}{R}-(R-h)\sqrt{R^2-(R-h)^2} \right]$

[H2SO4]

Re: Volumen de un líquido en un tanque cilíndrico

Gracias, bertolet. Queda aclarado.

Saludos