1r ciclo Cálcular área con ecuación paramétrica

[skinner]

Buenas! Me gustaría saber cómo calcular el área delimitada por dos curvas, por ejemplo:

"Calcular el área que encierra un arco de cicloide y el eje OX."

Un arco de cicloide (cuando t varía entre 0 y 2pi) tiene la siguiente parametrización:

C(t) = (at-a·Sin[t], a-a·Cos[t])

Siendo a el radio de la circunferencia. Una representación gráfica de la curva sería esta:



(Donde $\theta = t$, y $r=a$)

Eso es todo, mil gracias por vuestra atención!

Un saludo

[Al2000]

Re: Cálcular área con ecuación paramétrica

Imagínate que divides el área en bandas verticales (entre otras posibilidades) de altura $y$ y ancho $dx$. El área sería $\dst A = \int_{0}^{2 \pi a}\! y\,dx$. Pero $y = a (1 - \cos t)$ y $x = a (t - \mathrm {sen} \, t) \quad \Rightarrow \quad dx = a (1 - \cos t)\,dt$; entonces la integral queda $\dst A = \int_{0}^{2 \pi }\! a (1 - \cos t) \cdot a (1 - \cos t)\,dt$. Bueno, el resto es tuyo.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Cálcular área con ecuación paramétrica

Muchas gracias Al2000, no se me había ocurrido verlo desde un punto de vista gráfico... pensé que simplemente había otra fórmula para calcular áreas de curvas parametrizadas

Gracias de nuevo, y que tengas feliz navidad y próspero 2011!