1r ciclo ¿Derivar en una ecuación? ¿Y en un sistema de ecuaciones?

[skinner]

Buenas! Tengo un ejercicio que dice:

Transformar la ecuación diferencial $\dst z_{xx}+xz_{xy}+\left( \frac{x^2}{2}-y \right) z_{yy}=0$ mediante el cambio $\left\{x=u+v\right\}$ $\left\{y=uv \right\}$

Pero esta vez el cambio no viene dado de la forma x=x(u,v); y=y(u,v); sino de la forma: u=u(x,y); v=v(x,y). Pero según la regla de la cadena:

$\dst z_{x}=z_{u} u_{x} + z_{v} v_{y}$

y necesito calcular $u_{x}$ y $v_{x}$. El libro lo soluciona derivando respecto de x en el sistema: $\left\{x=u+v\right\}$ $\left\{y=uv \right\}$, obteniendo: $\left\{1=u_{x}+v_{x}\right\}$ $\left\{0=u_{x}v+uv_{x} \right\}$, y despejando:

$\dst u_{x}=\frac{u}{u-v}$

$\dst v_{x}=-\frac{v}{u-v}$

Mi duda es: ¿con qué razón deriva a ambos lados de las ecuaciones? ¿Esto puede hacerse SIEMPRE? ¿Es como lo de multiplicar a ambos lados sin modificar la solución?

Un saludo a todos y gracias!!

[Al2000]

Re: ¿Derivar en una ecuación? ¿Y en un sistema de ecuaciones?

Errrrr... ¿porque son iguales? Es decir la derivada de x es igual a la derivada de u+v porque x es igual a u+v... no se si me explico...

Saludos,

Al

[skinner]

Re: ¿Derivar en una ecuación? ¿Y en un sistema de ecuaciones?

¿Podrías concretar amigo?

[skinner]

Re: ¿Derivar en una ecuación? ¿Y en un sistema de ecuaciones?

Vale, entonces tenemos la misma duda, creo... jejeje

Este es el guión teórico (mira la página 5), por si te sirve de algo...

Espero vuestra ayuda

Un saludo y mil gracias!

[Caifan]

Re: ¿Derivar en una ecuación? ¿Y en un sistema de ecuaciones?

¿con qué razón deriva a ambos lados de las ecuaciones?

La razon es porque son iguales. Si derivara un solo lado, los miembros de la ecuación dejan de ser iguales entre sí.

¿Esto puede hacerse SIEMPRE?

Con las restricciones propias, pero para los propósitos comúnes, sí. Se aplica mucho al antiderivar por el método de sustitución y por partes.

¿Es como lo de multiplicar a ambos lados sin modificar la solución?

Sí, es como multiplicar ambos miembros sin que modifique la solución, pero más importante, sin que modifique la igualdad.

[raguirrev]

¿Derivar en una ecuación? ¿Y en un sistema de ecuaciones?

Claro que puedes hacerlo.

Mira supongamos que tienes las funciones f(x) , g(x) y h(x) ; todas ellas derivables y ademas :

h(x)=f(x)+g(x)

entonces se cumple:

h'(x)=f'(x)+g'(x)

En cualquier libro de calculo puedes ver esta propiedad.En caso que esten en funcion de otras variables , pues solo aplicas regla de cadena.

[skinner]

Re: ¿Derivar en una ecuación? ¿Y en un sistema de ecuaciones?

Mil gracias a los dos, me despejaron las dudas fantásticamente.

Un saludo!