1r ciclo integral

[kyubirr]

hola estoy intentado resolver esta integral y por mas que lo intento no lo consigo, si me podeis hechar una mano o decirme el metodo para resolverla

$\dst \int \frac{dx}{{({x}^{2}+1) }^{ 2} }$
muchas gracias

[arreldepi]

Re: integral

Prueba con el cambio de variable más famoso

$$x\equiv\tan u \qquad\qquad \dd x = \frac{1}{\cos^2 u}$$

Sustituye y usa una variante de

$$\sin^2 a+ \cos^2 a= 1$$

, para expresarlo todo en función del coseno.

Saludos!

[kyubirr]

Re: integral

ok muchas gracias ya lo hice y me salio bien y ademas probe con otros exponentes y tambien me servia esta sustitucion que no conocia, pero cuando la integral es algo mas distinta, es decir en vez de x^2+1 es x^2+2 o cualquier otro termino (+k), se me complica y me gustaria saber si existe otra sustitucion distinta para estos casos, o si me podriais decir como hacerlo (si se puede, que a mi no me sale) por el metodo de descomposicion en fracciones

[Caifan]

Re: integral

La sustitución es del mismo tipo. Ahora vamos a resolver otra integral, un poco más general. La integral es

$I= \dst {\int \frac{\dd x}{{(ax)}^2 + b^2}}$

En este caso, no sólo el término que se suma a la variable es diferente de 1, sino que tambien lo es el coeficiente de la variable misma. El hecho de que haya decidido escribir los coeficientes como cantidades elevadas al cuadrado, es porque al final nos daremos cuenta que la función resultante no depende de los coeficientes, sino de sus raíces cuadradas. Por ejemplo, si el denominador del integrando de tu problema fuese $4x^2 + 9$, bien lo podrías visualizar como ${(2x)}^2 + 3^2$; no creo que se te dificulte ver esto, pero considero necesario explicarlo.

Continuemos con el problema. La sustitución que te sugirió arreldepi sigue siendo útil, pero con algunas modificaciones. En tu problema inicial, los valores de $a$ y $b$ son ambos iguales a $1$. Entonces, no es nada descabellado pensar que la sustitución

${x^2} \equiv\ {{\tan}^2 u}$

podría reescribirse como

${{(ax)}^2 }\equiv\ {b^2} \, {\tan^2} u$

El asignar el coeficiente $a$ al miembro izquierdo de la ecuación es muy intuitivo, no así la decisión de asignar el coeficiente $b$ al miembro derecho. El porque de esto, se explica una vez que se hace el cambio de variable en la integral y se trata de simplificar.

Dada la sustitución anterior, se tiene que

$ax = b \, \tan u$

luego,

$a \, \dd x = b \, {\sec^2} u \, \dd u$.

Despejando el diferencial de $x$ en la ultima ecuación, se tiene que

$\dd x = {\frac{b}{a}} \, {\sec^2} u \, \dd u$.

Ahora contamos con las herramientas para realizar el cambio de variable en la integral:

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Como podrás darte cuenta, en el denominador del integrando hay una suma, ${b^2} \, {\tan ^2}u + b^2$, de la cual podemos factorizar el término $b^2$

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Es por esta factorización que se antepone el coeficiente $b$ al segundo miembro de la sustitución. Luego, por una de las formas de la identidad trigonométrica fundamental, ${\tan^2}u + 1 \equiv\ {\sec^2} u$, se tiene que

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Integrando

$I = \dst {\frac{1}{ab} u}$

Ahora, reescribiendo en términos de la variable original, $x$, llegamos al resultado de la integral, que es

$I = \dst {\frac{1}{ab} \, \arctan {\frac{a}{b} x} + C}$

Esto es todo, hay también otras integrales que puedes intentar, que se pueden resolver usando otras sustituciones con funciones trigonométricas y alguna de las formas de la identidad trigonométrica fundamental. Espero haberte útil.