1r ciclo Laplaciano en coordenadas polares

[skinner]

Buenas! Tengo que calcular el laplaciano de una función f dada en coordenadas polares, esto es, debo calcular:

$\dst \nabla^2 f(r,\theta):=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$

Tenemos $\dst f:(r,\theta) \in U \subset R^2 \mapsto f(r,\theta) \in R$ dada en función de dos variables $r, \theta$

Ahora bien, $r, \theta$ dependen de las variables cartesianas (longitudinales) x e y. Por tanto:

$\dst (r,\theta) = F(x,y)=F(x(r,\theta), y(r,\theta))=F\left[\sqrt{x^2+y^2}, arctan\left( \frac{y}{x} \right) \right]$

Procedemos a calcular $\dst \frac{\partial f}{\partial x}$

$\dst \frac{\partial f}{\partial x}=f_r r_x+f_\theta \theta_x = f_r \cos(\theta)-f_\theta \frac{\sin(\theta)}{r}$ (los subíndices indican respecto de qué variable se deriva)

Hasta ahí todo bien...

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Mi duda ¿Cómo vuelvo a derivar respecto de x a la derivada de f respecto de x? Es decir, cómo calculo:

$\dst \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$

Yo he probado: (en caso de que $\cos(\theta)$ dependa de x, que no lo sé )

$\dst \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=f_{xx}=(f_{rr}\cdot r_x+f_{r \theta}\cdot \theta_x) \cos(\theta)-f_r \cdot\sin(\theta)-(f_{\theta r}\cdot r_x+f_{\theta \theta}\cdot \theta_x) \frac{\sin(\theta)}{r}+f_\theta \cdot$

El problema es que no sé si $\cos(\theta)$ y $\sin(\theta)$ dependen de x (creo que sí por las condiciones que tengo) y en dicho caso cómo derivo $\dst \frac{\sin(\theta)}{r}$ respecto de x

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La solución según los apuntes

$\dst \nabla^2 f(r,\theta)=f_{rr}+\frac{1}{r^2}\cdot f_{\theta \theta}+\frac{1}{r}\cdot f_r$

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Mil gracias por tomar este mensaje en consideración y por dedicarme vuestro tiempo Sé que el mensaje es un pelmazo, pero tengo el examen en martes y esta duda me corroe...

Un saludo!!

NOTA:

$\dst f_{r \theta}$ significa: derivamos $f$ respecto de $r$ primero, luego respecto de $\theta$

[polonio]

Re: Laplaciano en coordenadas polares

Ten en cuenta que:

$\begin{aligned}<br /> & r=\sqrt{x^2 + y ^2} \\<br /> & \theta=\arctan (\frac{y}{x}) <br /> \end{aligned}$

Así que las derivadas van a ser engorrosas muy. Mejor busca otro camino, que sé que os lo han enseñado en clase

[skinner]

Re: Laplaciano en coordenadas polares

A qué camino te refieres? :P

[polonio]

Re: Laplaciano en coordenadas polares

Puedes hacer:

$$\begin{aligned}<br /> & r_r=r_xx_r+r_yy_r\,\to \, 1=r_x\cos\theta+r_y\sin\theta \\<br /> & r_\theta=r_xx_\theta+r_yy_\theta \,\to \ 0=-r_xr\sin\theta+r_yr\cos\theta<br /> \end{aligned}$$

Tienes dos ecuaciones con dos incógnitas para despejar $r_x$ y $r_y$.

Haz lo mismo para $\theta$ y tendrás $\theta_x$ y $\theta_y$.

No hace falta que sustituyas hasta el final. Luego has las derivadas segundas y repite el proceso...

O esto, o hacer las derivadas engorrosas.