1r ciclo Resolver por induccion

[lomismomeda2009]

Tengo que resolver esta formula por induccion , pero me estoy volviendo loco.
Agradeceria su colaboracion, muchas gracias.
1^3+2^3+3^3+....n^3=n^2(n+1)^2 dividido por dos

[kyubirr]

Re: Resolver por induccion

si pudieses escribirlo con LaTex porque tal y como interpreto la segunda parte de la identidad me da que 1=3 cosa que no es cierta
tal y como yo la se el segundo miembro deberia ser (1+2+...n)^2
el cual si se cumple

[angel relativamente]

Re: Resolver por induccion

1^3+2^3+3^3+....n^3=n^2(n+1)^2 dividido por dos

Es normal que no te salga porque la fórmula correcta es:

$$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\frac{n^2\cdot(n+1)^2}{4}$$

Prueba con n=1 y verás que funciona, después suponlo para todo n e intenta demostrarlo para n+1 :

$$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3+(n+1)^3=\frac{(n+1)^2\cdot(n+2)^2}{4}$$

Demuestralo a partir de ahí y verás como sí que da

Saludos!

[lomismomeda2009]

Re: Resolver por induccion

Tienes toda la razon Angel...
Esa era la formula, me equivoke...
Como puedo demostrarlo a partir de ahi?? Es que no entiendo la induccion....
si hay que suponer n+1.... ¿ por que en el primer factor no se pone solo {(n+1)}^{3 } ???
Gracias por su ayuda....

[angel relativamente]

Re: Resolver por induccion

La inducción se basa en 3 pasos:
1º. Probar con n=1
2º. Suponerlo para n
3º. Demostrarlo para n+1

Es decir, primero pruebas con 1 y despues, suponiendo que funciona bien para todos, lo demuestras para todos más 1. Con esos pasos queda demostrado algo por inducción, este sería el proceso.

$$1^3=\frac{1^2\cdot(1+1)^2}{4} \longrightarrow 1=1$$

Como con n=1 funciona, vamos a suponerlo para todo n, es decir, vamos a suponer que:

$$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\frac{n^2\cdot(n+1)^2}{4}$$

es cierto.

Suponiendo eso, vamos a intentar demostrarlo para n+1 (hay quien lo supone para n-1 y después lo demuestra para n, pero es exáctamente lo mismo). Ahora, para demostrarlo para n+1, queremos decir que el ultimo término de nuestra sucesión es n+1, por tanto en el primer miembro pondremos:

$$1^3+2^3+^3+...+n^3+(n+1)^3$$

Ahora, como nuestro ñultimo término es n+1, en el segundo miembro sustituiremos las n por (n+1), por lo que queda:

$$\frac{(n+1)^2\cdot[(n+1)+1]^2}{4}\longrightarrow \frac{(n+1)^2\cdot(n+2)^2}{4}$$

Igualando los dos miembros:

$$1^3+2^3+^3+...+n^3+(n+1)^3= \frac{(n+1)^2\cdot(n+2)^2}{4}$$

Ahora, fíjate que en el primer miembro, la suma de los n primeros números ya habíamos supuesto antes que era igual a la formula que nos dan, por tanto si lo sustituyo:

$$\underbrace{1^3+2^3+^3+...+n^3}_{\frac{n^2\cdot(n+1)^2}{4}}+(n+1)^3= \frac{(n+1)^2\cdot(n+2)^2}{4}$$

$$\frac{n^2\cdot(n+1)^2}{4}+(n+1)^3= \frac{(n+1)^2\cdot(n+2)^2}{4}$$

$$\frac{n^2\cdot(n+1)^2+4(n+1)^3}{4}= \frac{(n+1)^2\cdot(n+2)^2}{4}$$

$$n^2\cdot(n+1)^2+4(n+1)^3= (n+1)^2\cdot(n+2)^2$$

Sacamos factor común $(n+1)^2$:

$$(n+1)^2\cdot[n^2+4(n+1)]= (n+1)^2\cdot(n+2)^2$$

$$n^2+4(n+1)=(n+2)^2\rightarrow n^2+4n+4 = n^2 + 4n + 4$$

Ahí queda demostrado

Si no se entiende algo comentalo.
Un saludo!