1r ciclo otra de induccion...

[lomismomeda2009]

{2}^{n } > {n}^{2 , \forall n > 4

Podeis echarme una mano con el siguiente ejercicio
Hay que demostrarlo por induccion, gracias.

[arreldepi]

Re: otra de induccion...

Hola, primero comprobamos que se verifique que para $n>4$ la desigualdad es cierta:

$$2^5>5^2 \quad\to\quad 32>25.$$

Ahora, suponemos que nuestra desigualdad se verifica para $n+1$,

$$2^{n+1}>(n+1)^2,$$

con lo cual, si probamos esto, significará que nuestra hipótesis de inducción es válida $\forall n>4$.

Multiplicando (1) por dos a ambos lados:

$$2^n\cdot2 > 2n^2\qquad\to\qquad 2^{n+1}>2n^2$$

de forma que tenemos que demostrar que $2n^2 \geq (n+1)^2$ para terminar la demostración (ya que si se verifica para algo mayor, también se verificará para él).

$$2n^2 \geq (n+1)^2 \;\to\; 2n^2 \geq n^2+2n+1\qquad\to\qquad n^2-2n-1\geq 0$$

Que se verifica (tomamos la única solución que nos interesa) para $n\geq 1+\sqrt 2$, que verifica lo propuesto.

Con lo cual, queda demostrado, por inducción, que $2^n>n^2 \;\;\forall n>4$

Saludos!

[lomismomeda2009]

Re: otra de induccion...

Al hacer la raiz cuadrada a mi me sale diferente..
Me sale 2+raizcuadrada de dos...
y 2 menos raiz cuadrada de dos.
Puede ser??? Gracias....

[arreldepi]

Re: otra de induccion...

Hm, a mí me sigue saliendo lo mismo:

$$n=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt 2}{2}=1\pm\sqrt 2$$

lo cual implica $n\geq 1+\sqrt 2$ ó $n\leq 1-\sqrt 2$; la solución negativa no tiene sentido ya que, por hipótesis, n es natural y mayor que 4.

Saludos!

[lomismomeda2009]

Re: otra de induccion...

Mil perdonessssssssssssssssssssssssssssssss
que soy la leche....
Mea culpa
metedura de pata. Tenias toda la razon
thanks

[arreldepi]

Re: otra de induccion...

Don't worry