Olimpiada Un sistema de olimpiada

[angel relativamente]

Bueno al parecer hay algunos miembors que como yo se han presentado a la olimpiada matematica. La verdad fui solo para ver un poco como eran y han sido bastante dificiles. Voy a ponerles el siguiente sistema a ver si alguien se anima a resolverlo, que yo no lo conseguí:

$$\dst 3\cdot 2^y - 1 =2^x + 2^{-x}$$

$$\dst 3\cdot 2^z - 1 =2^y + 2^{-y}$$

$$\dst 3\cdot 2^x - 1 =2^z+ 2^{-z}$$

Hice todo tipò de birrerias. Por logaritmos en ambos miembros, intentando hacer cambio de variable, etcétera, pero no llegué a nada. (Salvo que 0,0,0 es una solución jajaja)

Ayudenme a ver si os sale.

Saludos!

[arreldepi]

Re: Un sistema de olimpiada

Provaste con el cambio $a=2^x,\;\;b=2^y;\;\;c=2^z$?

[angel relativamente]

Re: Un sistema de olimpiada

si, es lo primero que probe, pero se queda despues una de segundo grado del modo:

$$\dst 3ab - a =a^2 +1$$

y así con las 3

[arreldepi]

Re: Un sistema de olimpiada

, $-\frac 12$ es otra xD, cuántas te pedían?

[angel relativamente]

Re: Un sistema de olimpiada

me pedian todas

Halla todas las ternas (x,y,z) de números reales que son soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:

[hennin]

Re: Un sistema de olimpiada

Creo que se resuelve aplicando la desigualdad de las medias aritméticas y geométricas (digo esto porque algunos ejercicos de años anteriores, cuando plantean un sistema o ecuación en la que ves que hay una "lógica" o "ralación" de cómo están las incógnitas).

Te quedaría algo tal que x=y=z.

Puede que sea una burrada, mejor espérate a la solución xD.

[arreldepi]

Re: Un sistema de olimpiada

Hola, x=y=z no puede ser solución (prueba con algún número diferente a 0 ó -1/2).

Saludos!

[hennin]

Re: Un sistema de olimpiada

Mm, ok. Gracias =P

[angel relativamente]

Re: Un sistema de olimpiada

Hola, x=y=z no puede ser solución (prueba con algún número diferente a 0 ó -1/2).

¿Crees que la solución ha de ser probando valores?

[hennin]

Re: Un sistema de olimpiada

Angel no. Nunca es ésa la intención. A último remedio lo haces xD, pero no es la respuesta correcta al 100%

[arreldepi]

Re: Un sistema de olimpiada

Nono, me refería que esa solución (x=y=z) no podía ser porque para números diferentes de 0 y -1/2 no se cumple (no he probado con el resto de los reales, pero con 1 ya no se cumple xD).

[angel relativamente]

Re: Un sistema de olimpiada

A último remedio lo haces xD

Así fue como encontré el 0,0,0 no se me ocurrió probar con -1/2 jajajaja
un poco dificil era este sistema... pero bueno es lo que toca
gracias a todos