Otras carreras Área de curva parametrizada.

[Amu]

Hola amigos. En primer lugar daros la enhorabuena por el foro, ya que le eché un vistazo y me parece magnífico.

Tengo una duda acerca del cálculo de áreas de curvas parametrizadas.
Me encuentro en un ejercicio a resolver con la ecuación parametrizada de la "lágrima", que viene dada por:

x(t) = a cos (t)
y(t) = 2b sen (t) - b sen (2t)

Me piden el área del recinto limitado de la curva y mi duda es si la integral que debo usar para calcularla es la misma que usamos para las curvas en polares:
"\frac{1}{2} \int {r(\theta)}^{2}d\theta

No se me ocurre otra forma de calcularla, pero claro, el radio polar me genera la duda...
Gracias de antemano

[Amu]

Re: Área de curva parametrizada.

Siento el Fail que he cometido con el LateX... Quise decir 1/2 ∫ r^2(θ) dθ

[Al2000]

Re: Área de curva parametrizada.

Para que te salgan las fórmulas en los mensajes, enciérralas entre las etiquetas [TEX][/TEX].

Puedes usar la integral $\int y\,dx$ o la integral que pones. Aplica el método de la cadena para que integres en función del parámetro. Por ejemplo: $\dst A = \int y\,dx = \int y \frac {dx}{dt}\,dt$. Con la expresión en polares podrías hacer $\dst A = \frac 1 2 \int r^2\,d \theta = \frac 1 2 \int (x^2 + y^2) \frac d {dt} \left(\tan^{-1} \frac y x\right)\, dt = \frac 1 2 \int \left(x \frac {dy}{dt} - y \frac {dx}{dt}\right)\,dt$, que sería un poco mas elaborado. En ambos casos te debería dar $2 \pi a b$, aunque la primera forma da negativa, creo que por el sentido en el cual se describe la curva.

Saludos,

Al

[Amu]

Re: Área de curva parametrizada.

Muchas gracias por tu respuesta.
He entendido bien lo que me has sugerido, pero si aplico la integral $\frac{1}{2} \int {r}^{2}\left(t\right) \dd t$ bastaría?. Me refiero a que sería la misma fórmula sólo que al ángulo lo llamamos t en lugar de theta.
Así sólo debería integrar el módulo al cuadrado, y no haría falta nombrar al arcotangente...... Creo.

[Al2000]

Re: Área de curva parametrizada.

No, $t$ no es equivalente a $\theta$. Piensa que la ecuación paramétrica te da las coordenadas $(x,y)$ de cada punto para cada valor del parámetro $t$. Si deseas expresar las coordenadas cartesianas como coordenadas polares, tienes que hacer la conversión como siempre la haces, $\dst r = \sqrt {x^2 + y^2},\,\, \theta = \tan^{-1} (y/x)$. Como puedes ver, $\theta$ no es $t$ sino una relación mas bien complicada con este.

Saludos,

Al

[kuvala]

Re: Área de curva parametrizada.

Hola Buenas:

He estado siguiendo la explicación de obtener el área de esta curva y me ha ayudado mucho, porque de hecho, tenía muchas dudas de como hacerla. Ahora la duda que tengo es cómo pasar la curva paramétrica a coordenadas polares. Lo que he hecho ha sido convertirla como siempre con la fórmula $r=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2} }$ y después hacer el cambio de $\theta$ con la cotangente de y/x. Después de eso no sé qué hacer para obtener la representación gráfica en un programa del ordenador. En la representación paramétrica en polares me pide que ponga en r la función y que en $\theta$ ponga otra cosa. Al poner en r la función $r=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2} }$ y en $\theta$ la cotangente de y/x y darle a representar, obtengo como resultado la lágrima pero la parte que se encuentra en el sentido negativo del eje x se encuentra en el sentido positivo de este.



Muchas Gracias por todo ;D. Me gusta mucho este foro

[Al2000]

Re: Área de curva parametrizada.

El problema es que la función tangente inversa devuelve un ángulo entre $-\pi/2$ y $\pi/2$. Si dispones de una función angle(x,y) o atan2(x,y) que te devuelva el ángulo entre 0 y $2 \pi$, o entre $-\pi$ y $\pi$, úsala en lugar de $\tan^{-1}$.

Saludos,

Al

[kuvala]

Re: Área de curva parametrizada.

Ah vale, entiendo lo que me quieres decir respecto a la inversa de la tangente. Creo que no dispongo de angle o de atan2 para que me devuelva el ángulo en el intervalo que pones. En cualquier caso, entiendo pues que lo que he hecho está bien y que por lo tanto la representación gráfica a mano se podría llevar a cabo ¿no? Si eso es cierto, ¿cómo se haría? ¿Sustituyo t por $\theta$?

Muchas Gracias

[Al2000]

Re: Área de curva parametrizada.

$t$ no es equivalente a $\theta$. Revisa el software que estás usando; se me hace cuesta arriba creer que no tiene una función tangente inversa que devuelva el ángulo en el cuadrante correcto. Podría llamarse atanxy o algo similar.

Respecto de graficar a mano: El problema está cuando divides $y/x$ para hallar la arcotangente. En el momento de dividir pierdes la información de los signos de $x$ y $y$. Si lo haces a mano, puedes controlar el cuadrante correcto y sumar/restar 180° al ángulo calculado a la hora de graficarlo.

Una idea que se me ocurre a última hora es añadirle esto a tu definición de $\theta$: $\dst + \pi (cos(t) < 0)$. Esto tendría el efecto de sumar $\pi$ al ángulo devuelto por $\tan^{-1}$ si $x < 0$.

Saludos,

Al

[cokinho]

Hola amigos. En primer lugar daros la enhorabuena por el foro, ya que le eché un vistazo y me parece magnífico.

Tengo una duda acerca del cálculo de áreas de curvas parametrizadas.
Me encuentro en un ejercicio a resolver con la ecuación parametrizada de la "lágrima", que viene dada por:

x(t) = a cos (t)
y(t) = 2b sen (t) - b sen (2t)

Me piden el área del recinto limitado de la curva y mi duda es si la integral que debo usar para calcularla es la misma que usamos para las curvas en polares:
"\frac{1}{2} \int {r(\theta)}^{2}d\theta

No se me ocurre otra forma de calcularla, pero claro, el radio polar me genera la duda...
Gracias de antemano

Ingeniería aeroespacial en la ETSI de Sevilla?