1r ciclo Trabajo como integral de línea (campo de fuerzas)

[vpleader]

¡Saludos!

Tengo un problema (de memoria, más que nada) con el cálculo de trabajos mediante campos de fuerza. Sólo tengo a mano el Cálculo II de Larson y viene explicado pero para casos (aún) más simples. Os dejo el miniproblema:

Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas A= (2xy+z³)i +x²j +3xz²k en un desplazamiento desde el punto (1,-2,1) hasta el (3,1,4).

No necesito los cálculos, sólo la explicación.

He intentado hacer la integral del campo por dl, pero después de hacer el producto escalar no recuerdo cómo seguir la integral.

¡Gracias!

[polonio]

Re: Trabajo como integral de línea (campo de fuerzas)

Este campo no es irrotacional, es decir, no es conservativo, luego la circulación depende del camino, así que si no dices el camino para circular desde el punto $(1,-2,1)$ hasta el punto $(3,1,4)$ no puedes hacer la circulación (ni sabes cómo tomar el elemento de camino $\dd \vec{r}$).

EDITO: SÍ es conservativo (había leído mal la expresión del campo). Cualquier camino que tomes de un punto a otro de da la misma circulación. Toma es más simple o el que te resulte más cómodo.

[vpleader]

Re: Trabajo como integral de línea (campo de fuerzas)

El campo A si es conservativo, su rotacional es cero (comprobado y sacado de libro). ¿Qué se hace en este caso?

[Al2000]

Re: Trabajo como integral de línea (campo de fuerzas)

Como el campo es conservativo y puedes elegir la trayectoria que quieras, lo mas sencillo sería tomar tres segmentos rectilíneos consecutivos en las direcciones de los ejes. Si eliges tu trayectoria en sucesión X-Y-Z, la integral quedaría

$$\int \boldsymbol A \boldsymbol \cdot d \boldsymbol r = \int_{1}^{3}\! A_x(x,-2,1)\,dx + \int_{-2}^{1}\! A_y(3,y,1)\, dy + \int_{1}^{4}\! A_z(3,1,z)\,dz = 202$$

La alternativa sería elegir otra trayectoria cualquiera y parametrizarla, para calcular la integral en función del parámetro. Por ejemplo, la trayectoria mas simple de parametrizar que sería una línea recta, se podría expresar como

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
poniendo $0 \leqslant t \leqslant 1$ como parámetro y resolver la integral como

$$\int \boldsymbol A \boldsymbol \cdot d \boldsymbol r = \int_{t=0}^{t=1}\! \boldsymbol A(t) \boldsymbol \cdot d \boldsymbol r = \int_{0}^{1}\! \left[2 A_x(t)+ 3 A_y(t)+3 A_z(t)\right]\,dt = 202$$

que conlleva mucho mas trabajo. Si se puede hacer mas eficientemente, me gustaría saberlo.

Saludos,

Al

[Jose D. Escobedo]

Re: Trabajo como integral de línea (campo de fuerzas)

De $\nabla U= \vec A$ se obtiene $U=x^2 y +z^3 x$ por lo que el trabajo es igual a $W= U(3,1,4) -U(1,-2,1)$ y que como Al dice es: 202