1r ciclo Recta tangente a una superficie en un punto

[kuvala]

Hola Buenas :

A ver si me dan ideas acerca de como puedo hacer este ejercicio, porque no sé cómo hacerlo.

Enunciado:
Al cortar la superficie S $\equiv {x}^{2 }+{y}^{2 }+{z}^{2 }+4xy+z-1=0$ con el cilindro de ecuación ${x}^{ 2}+{y}^{2 }=1$ se obtiene una curva C que pasa por P=(0,-1,0) de S. Calcula unas ecuaciones de la recta tangente a C en el punto P.

No sé como hallar la parametrización o la ecuación de la curva que resulta de cortarse las dos superficies. Lo que he hecho ha sido igualar las dos ecuaciones y reducirla, pero no llego a ningún sitio, y otra cosa que he hecho ha sido despejar x del cilindro y sustituir en la otra, pero tampoco me queda nada claro.

Muchas gracias y Un Saludo

[polonio]

Re: Recta tangente a una superficie en un punto

Parametriza en polares.

[skinner]

Calcular la recta tangente a la curva intersección de dos superficies en P

Buenas a todos. Tengo la siguiente superficie de nivel:

$$x^2+y^2+z^2+4xy+z-1=0$$

También tengo el cilindro:

$$x^2+y^2=1$$

Me dicen que estas dos superficies se cortan en una curva C, y que dicha curva contiene al punto P(0,-1,0). Me piden calcular la recta tangente a C en P. Yo lo intenté de esta manera:

1º) Defino la función $\dst f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+4xy+z-1$ y calculo su gradiente, es decir: $\vec{\nabla f(x,y,z)}=(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})$ particularizado al punto P: $\vec{\nabla f(0,-1,0)}=(-4,-2,1)$. (Aquí tengo mini duda, y es si puedo cambiar el signo de las tres componentes). Además, sé que el vector gradiente al cilindro en el punto (0,-1,0) es (según el teorema de la normalidad del gradiente): (0,-1,0)

Así pues, hago el producto cruz: $\vec{r}=(-4,-2,1) \times (0,-1,0) = (1,0,4)$

Por tanto supuestamente la recta tangente se define:
$<br /> y - y_{0} = m ( x - x_{0} )$. podemos calcular m = 4 / 1 = 4 ---> y = 4x - 1

No sé si estoy en lo cierto...

¿Puedo hacerlo de otro método más potente y más sencillo? ¿Cómo puedo calcular el vector gradiente al cilindro en P de una manera menos gráfica?

Un saludo! y gracias!

[polonio]

Re: Recta tangente a una superficie en un punto

Como es la misma pregunta que hizo kuvala, he fusionado los dos hilos.

Bueno, skinner, ya ves que lo mejor es calcular la curva intersección de ambas superficies y, luego, calcula su pendiente como ha hecho kuvala. Esto creo que es más sencillo.

[kuvala]

Re: Calcular la recta tangente a la curva intersección de dos superficies en P

...

Así pues, hago el producto cruz: $\vec{r}=(-4,-2,1) \times (0,-1,0) = (1,0,4)$

Por tanto supuestamente la recta tangente se define:
$<br /> y - y_{0} = m ( x - x_{0} )$. podemos calcular m = 4 / 1 = 4 ---> y = 4x - 1

...

Hola Skinner:
Yo lo he hecho de las dos formas, en polares y como dices tú. Tengo que decir que la forma de calcular el gradiente y hacer el producto vectorial me parece más rápido y más fácil que tener que parametrizar en polares y después hacer la tangente en el punto. Sin embargo, cuando defines la recta tangente creo que no se puede hacer así. Al definirla de esa manera te va a salir una recta con pendiente 4 en el plano OXY porque no hay alusión alguna de la componente z.

Yo lo que he hecho ha sido dar una solución paramétrica de la recta:

(x,y,z)=(0,-1,0)+$\lambda$(1,0,4)

Espero haberte servido de ayuda. Un Saludo =D