1r ciclo .Resolver una integral.

[skinner]

Buenas a todos, tengo la siguiente integral:

$$\int \frac{dy}{(x^2+y^2)^{3/2}}$$

Seguramente sea una tontería de integral, pero me estoy oxidando en esto. He probado con los cambios:

$t=x^2+y^2$

y

$t^{2/3} =x^2+y^2$

Pero ninguno parece funcionarme. ¿Cómo puedo resolverla? ¿De qué tipo es?

Gracias, un saludo!

[roldan]

Re: .Resolver una integral.

podrias tratar de resolverla con reglas de exponentes.


[FONT=Calibri][/FONT]
[FONT=Calibri][/FONT]
[FONT=Calibri][/FONT]

[skinner]

Re: .Resolver una integral.

Podrías ser más explícito? Gracias

[kyubirr]

Re: .Resolver una integral.

hola la verdad es que esta integral al menos para mi no es ninguna tonteria es la que mas he usado y la que mas me ha constado resolver xD
bueno echando un ojo a internet hago esto
1) multiplico y divido por x^2 y sumo y resto y^2 y me queda
$\dst \frac{1}{{x}^{2}}\int \frac{{x}^{2}+{y}^{2}-{y}^{2}}{({{x}^{2}+{y}^{2})}^{3/2}}$
luego por ahora me olvido del 1/x^2 y separo la fraccion entre y^2+x^2 y y^2 y simplifico el que tiene en el denomidador y^2+x^2 y me qeda
$\dst \frac{1}{x^2}(\int \frac{1}{({{y}^{2}+{x}^{2})}^{1/2 } }-\int\frac{y^2}{({{y}^{2}+{x}^{2})}^{3/2}})$
3) ahora nos centramos en la segunda integral
para resolver la segunda integral hacemos y^2=y*y,e integramos por partes por tanto y=u por tanto dy=du
y $\dst dv=\frac{x dx}{({{y}^{2}+{x}^{2})}^{3/2 } }$ que integrando $\dst v=\frac{-1}{\sqrt{{y}^{2}+{x}^{2}} }$
asi $\int udv=uv-\int vdu$
y nos queda retomando toda la integral en total
$\dst \frac{1}{x^2}(\int \frac{1}{({{y}^{2}+{x}^{2})}^{1/2 } }-(y \frac{-1}{\sqrt{{y}^{2}+{x}^{2}} }+\int \frac{dy}{ \sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}} } ))$
por tanto restandose las integrales que no hemos resuelto obtenemos
$\dst \frac{y}{{x}^{2}\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}} }$
se que es un poco enrevesada la solucion pero no se me ocurria como hacerlo, de todas formas si alguien sabe algun metodo mas breve me encantaria saberlo para evitarme todo esto
PD: si algun paso te has perdido o quieres que lo ponga de manera explicita pidemelo
PD2: perdona por los diferenciales y tal que se me han ido olvidando pero creo que se entiende

[carmelo]

Re: .Resolver una integral.

Hola:

Otra forma:

Hagamos el cambio de variable $y = x\;\tan \theta\Rightarrow \dd y =x\;\sec^2 \theta\dd \theta$
Además:

$$x^2+y^2=x^2(\tan^2 \theta+1)=x^2\;\sec^2\theta$$

Sustituyendo en la integral tenemos:

$$\dst\int \frac{x\;\sec^2\theta}{(x^2\;\sec^2\theta)^{3/2}}\dd \theta=\dst\int\frac1{x^2\;\sec\theta}\dd\theta =\dst\frac1{x^2}\dst\int\cos\dd\theta=\dst\frac1{x^2}\sin \theta+\text{C}$$

Ahora debemos deshacer el cambio de variable.
Recordemos que:

$$\sin\theta=\dst\frac{\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^2\theta}}=\dst\frac{\dst\frac y x}{\sqrt{1+\dst\frac{y^2}{x^2}}}=\dst\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

Con lo que la integral planteada queda:

$$\boxed{\dst\int\frac1{(x^2+y^2)^{3/2}}\dd y=\dst\frac{y}{x^2\sqrt{x^2+y^2}}+\text{C}}$$

[skinner]

Re: .Resolver una integral.

Millones de gracias a los dos, ahora sé dos maneras de resolver esta integral, que es muy importante en electromagnetismo. Pero tengo una pregunta, ¿no es más correcto poner que la solución sea la siguiente?

$\dst \frac{1}{x^2} \cdot |\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}|$

Lo digo porque la expresión siguiente:

$\sin\theta=\dst\frac{\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^2\theta}}$

es en realidad:

$\sin\theta=\dst |\frac{\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^2\theta}}|$

No sé, es simple curiosidad, y querría saber si esto afectaría a mis cálculos de electromagnetismo.

Un saludo y gracias de nuevo.

[polonio]

Re: .Resolver una integral.

No sé a qué grupo vas (y, por tanto, no sé tu profesor), pero si esta integral (que suele salir cuando calculas el campo creado por un hilo cargado de longitud finita) te aparece en el examen, te dan la primitiva (no tienes que integrarla en el examen de física, por lo general).

Pero, lo dicho, según los profesores... Yo no suelo pedirla, claro que también enseño a hacer un cambio de variables (con su dibujito y todo) aparciendo la integral que le sale a Carmelo.

[_L_]

Re: .Resolver una integral.

me imagino como polonio... pero el prefiere hacerla asi ^_^, ya le dije yo como podia hacer.

[Al2000]

Re: .Resolver una integral.

Millones de gracias a los dos, ahora sé dos maneras de resolver esta integral, que es muy importante en electromagnetismo...

Esa integral que pones aparece cuando calculas el campo eléctrico o el campo magnético de un filamento. Con referencia al gráfico siguiente,



cuando resuelves el problema tabajando en forma escalar, es decir, cada componente por separado, consigues el par de integrales

$$E_x = k \lambda \int_{y_1}^{y_2}\! \frac {\cos \theta }{r^2} dy\,,\quad E_y = - k \lambda \int_{y_1}^{y_2}\! \frac {\mathrm {sen} \, \theta }{r^2} dy$$

En este momento es tu decisión proseguir con la integración en función de la variable $y$, o usar mejor alguna otra variable. La experiencia muestra que es mas simple plantear estas integrales en función del ángulo $\theta$. Es inmediato de la figura que

$$r = R \sec \theta \,,\quad y = R \tan \theta \quad \Rightarrow \quad dy = R \sec^2 \theta\,d \theta$$

de modo que al sustituir, las integrales anteriores se reducen a

$$E_x = \frac {k \lambda} R \int_{\theta_1}^{\theta_2}\! \cos \theta \, d\theta \,,\quad E_y = - \frac {k \lambda} R \int_{\theta_1}^{\theta_2}\! \mathrm {sen} \, \theta \, d\theta$$

Este cambio de variable es el mismo que usó carmelo para resolver la integral y pone en el contexto físico lo que en aquel caso es tan sólo un cambio útil.

...
es en realidad:

$\sin\theta=\dst |\frac{\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^2\theta}}|$
...

No se como obtuviste la idea de introducir un valor absoluto en el resultado, pero te llamo la atención al hecho de que la expresión que pones no es válida. Lo puedes ver claramente si te percatas que mientras que el miembro derecho es positivo siempre, el izquierdo no lo es.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: .Resolver una integral.

Hola Polonio, yo estoy en el grupo 2, del aula 301 (turno de tarde). No me acuerdo del nombre del profe, lo tengo apuntado en la libreta, pero seguramente ya sepas quién es.

Al2000, gracias por la detellada explicación. En cuanto a lo de los valores absolutos, quise poner:

$\dst \sin^2 \theta=\frac{\tan^2 \theta}{1+\tan \theta}$

Por tanto el valor absoluto me queda a la izquierda:


$\dst |\sin \theta|=\frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan \theta}}$

¿No es eso? ¿He de tener en cuenta este efecto?

Saludos a todos y gracias

[polonio]

Re: .Resolver una integral.

Hola Polonio, yo estoy en el grupo 2, del aula 301 (turno de tarde). No me acuerdo del nombre del profe, lo tengo apuntado en la libreta, pero seguramente ya sepas quién es.

¡Ostras!, ¿a Emilio? Pues, lo siento, no es el mejor precisamente . Eso, sí, no es nada duro corrigiendo y poniendo exámenes... pero el examen lo pone Pedro. Espero que Emilio se ciña al plan de Pedro (que es el responsable de la asignatura) porque él es bastante caótico. Otra cosa buena de Emilio es que es bastante afable en el trato con los alumnos.

¡Ánimo!