1r ciclo Calcular ptos críticos de esta f(x,y)

[skinner]

Hola buenas! Tengo la siguiente función en 2 variables:

$\dst f(x,y)=2+2x+2y-x^2-y^2$

Y me piden calcular sus puntos críticos en el triángulo de vértices (0,0) , (0,9), (9,0).

Calculo la diferencial y la igualo a cero, y obtengo el punto (1,1), que es un punto crítico. Calculando la matriz hessiana (diferencial segunda) obtengo que su forma cuadrática asociada es definida negativa, por lo que se trata de un punto de máximo relativo. Hasta ahí bien.

Calculando la ecuación del segmento definido por (0,9), (9,0), tengo: $y=9-x$, con $0\leqslant x \leqslant 9$

Muy bien, sustituyendo en f(x,y):

$f(x,y(x)) = f(x, 9-x) = \ldots = -2x^2+18x-61$

Derivando e igualando a cero, obtengo el punto de abscisa: x$= -4.5$

Pero este punto no entra dentro del segmento de nuestro triángulo. A simple vista esto podría ocurrir perfectamente, pero estudiando lo que ocurre con los vértices (0,9) ; (9,0), me llevo una sorpresa:

$f(0,9)=-61$
$f(9,0)=-61$

Y digo yo, si en estos dos puntos el valor de la función es la misma, según el teorema de bolzano debe haber algún punto en el segmento cuya imagen sea un pto crítico (cuando digo segmento, digo trozo de la recta $y=9-x$ definida desde x=0 hasta x=9)

¿Por qué?

Un saludo y muchas gracias!