1r ciclo Polinomio de Taylor de una función

[kuvala]

Hola Buenas :

Mi pregunta es si se puede hacer el polinomio de Taylor de una función en un punto donde no haya función. Es que tengo un ejercicio en el que me pide que calcule el polinomio de Taylor de grado dos centrado en el origen de coordenadas de la función z(x,y) definida implícitamente mediante la ecuación ${z}^{3 }+{x}^{2 }+({y}^{2 }+1)z=0$

Cuando dice en el origen de coordenadas de la función z(x,y), se refiere al punto (0,0,0) ¿no? En ese caso, la función en ese punto no está definida, o por lo menos eso me parece.

Un Saludo

[polonio]

Re: Polinomio de Taylor de una función

Usa el teorema de la función implícita.

[polonio]

Re: Polinomio de Taylor de una función

Por cierto, para mí que sí está definida en el origen.

[kuvala]

Re: Polinomio de Taylor de una función

Usa el teorema de la función implícita.

Si si, ese es el teorema que estaba usando, lo que pasa que la parcial de z respecto a x y a y me daban 0. Voy a poner lo que he hecho para ver si se puede identificar donde fallo.

La función F(x,y,z)=${z}^{3 }+{x}^{2 }+({y}^{2 }+1)z=0$ en el punto P=(0,0,0) es F(0,0,0)=0. Además, tiene derivadas parciales continuas y ${F}_{z }(0,0,0)=1 \neq 0$. Por lo tanto, existen un disco D centrado en $({x}_{0 },{y}_{0 })$ y una única función z=z(x,y) con derivadas parciales continuas tal que ${z}_{ 0}=Z({x}_{ 0},{y}_{0 })$ y F(x,y,z(x,y))=0 $\forall (x,y)\in D$

Teoricamente parece correcto, pero después en la práctica no tanto. Podemos considerar entonces:
${z(x,y)}^{3 }+{x}^{2 }+({y}^{ 2}+1)z(x,y)=0$

Si derivamos respecto de x nos queda:
$3{z(x,y)}^{2}\cdot {z}_{x }(x,y)+2x+{z}_{ x}(x,y)({y}^{2 }+1)=0$

Sustituyendo y=x=z(x,y)=0 quedaría lo siguiente:

$0\cdot 0+0+{z}_{x }(x,y)\cdot (0+1)=0$, por lo tanto ${z}_{ x}(x,y)=0$ y pasa lo mismo con la parcial de z respecto a y. Así que el polinomio de Taylor no se podría hacer porque las parciales son nulas, ¿no?

Un saludo

[skinner]

Re: Polinomio de Taylor de una función

Hey, qué tal. Sí que se puede calcular el P. de Taylor de cualquier orden, pero para los de orden 0 y 1, éstos adoptan la forma P(x,y,z) = 0.

Si te piden el de orden 2, deberías derivar 2 veces respecto a x, dos veces respecto a y, y calcular una parcial cruzada para finalmente sustituir. Seguramente las parciales de segundo orden no se anulen.

Un saludo!

[kuvala]

Re: Polinomio de Taylor de una función

Hey, qué tal. Sí que se puede calcular el P. de Taylor de cualquier orden, pero para los de orden 0 y 1, éstos adoptan la forma P(x,y,z) = 0.

Si te piden el de orden 2, deberías derivar 2 veces respecto a x, dos veces respecto a y, y calcular una parcial cruzada para finalmente sustituir. Seguramente las parciales de segundo orden no se anulen.

Un saludo!

Si si, llevas razón. La derivada parcial respecto de x dos veces es -2. Ha sido un fallo mio no seguir comprobando las derivadas. Muchas gracias