1r ciclo Mínima distancia entre dos cuerpos

[skinner]

Buenas. Tengo un ejercicio en el que me piden calcular la mínima distancia entre un paraboloide y un plano. ¿Cómo puedo plantear el razonamiento? El libro de soluciones propone buscar un punto del paraboloide en el que el plano tangente sea paralelo al plano dado, pero esto no es más que una aplicación del teorema de multiplicadores de Lagrange, me gustaría buscar otro razonamiento que no tenga que ver con el teorema anterior.

El paraboloide es: z = x^2 + y^2 + 10
El plano es: x + 2y - z = 0

Si es posible me gustaría resolverlo sin utilizar el teorema de mulitplicadores de Lagrange. ¿Tengo que usar la función distancia? (raíz de la resta de las componentes al cuadrado)

Un saludo! Gracias!

[polonio]

Re: Mínima distancia entre dos cuerpos

La función a la que tienes que buscar los extremos (mínimos, en este caso) es, efectivamente la función distancia (de un punto cualquiera al plano). En este caso, si buscas la distancia al plano $x+y-z=0$:

$$\dst f(x,y,z)=\frac{|x+y-z|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}}=\frac{|x+y-z|}{\sqrt{3}}$$

Tienes la restricción (el punto pertenece al paraboloide):

$$g(x,y,z)=x^2+y^2+10-z=0$$

Y ahora usa los multiplicadores de Lagrange:

$$\nabla f= \lambda \nabla g$$

[skinner]

Re: Mínima distancia entre dos cuerpos

No, si eso yo sé aplicarlo de carrerilla. Lo que no entiendo es el razonamiento, ¿por qué han de ser en ese punto paralelos sus vectores superficie?

[polonio]

Re: Mínima distancia entre dos cuerpos

¡Ah!, muy sencillo.

El gradiente es normal a la superficie que representa la función, ¿no?. Pues si tenemos que $\nabla f= \lambda \nabla g$, estamos diciendo las normales de ambas superficies llevan la misma dirección (son paralelas).

[skinner]

Re: Mínima distancia entre dos cuerpos

Claro, eso es lo que dice el teorema de los multiplicadores de Lagrange pero, ¿por qué tiene que ser así para que haya un máximo/mínimo? ¿Por qué se requiere que los vectores superficie sean paralelos? No sé si me explico

[polonio]

Re: Mínima distancia entre dos cuerpos

A ver: si los gradientes son paralelos, las normales a las superficies son paralelos: el gradiente es paralelo a los vectores superficie (normales a la superficie).

Un vector normal a la superficie se puede definir a partir del gradiente:

$$\dst \hat{n}=\frac{\nabla f}{|\nabla f|}=\frac{\lambda\nabla g}{\lambda|\nabla g|}$$

No sé qué dudas tienes... o no te entiendo