1r ciclo Optimizar área de un rectángulo

[skinner]

Buenas! Tengo el problema de optimizar el área de un rectángulo de base "x" y altura "y", inscrito en una circunferencia de radio R. Quiero saber si esto, en términos de multiplicadores de Lagrange, se transformaría en una función objetivo A(x,y)=xy (área del rectángulo), y una función de restricción: g(x,y)=x^2+y^2-R^2=0.

Yo creo que sí, pero tampoco estoy muy seguro puesto que en virtud de esta restricción, el dominio de optimización debería ser toda la circunferencia, cuando sólo 4 vértices del rectángulo pertenecen a ésta (circunferencia). De este modo obtengo x=R/raíz(2)=y

¿Fue mi razonamiento correcto? En caso afirmativo, ¿no impone la restricción que todos los puntos pertenezcan a la circunferencia? ¿Se haría lo mismo para un hexágono? Y en caso negativo, ¿cómo busco la función restricción?

¿Y si en lugar de una circunferencia se tratase de una elipse?

Gracias mil por vuestra ayuda y tiempo dedicado

Un saludo!

[_L_]

Re: Optimizar área de un rectángulo

yo que tu imaginaria una circunferencia de radio uno y supondria un rectangulo de base 2cos(alpha) y altura 2sen(alpha) derivas e igualas a 0 como siempre, una funcion de una sola variable ^_^

[skinner]

Re: Optimizar área de un rectángulo

Bueno la cosa no está en hacer el problema más simple, sino en saber cómo hacerlo de la manera más rebuscada y ya de paso que tenga algo que ver con el tema que estoy estudiando jeje. Agradecería ayuda.

Un saludo

[polonio]

Re: Optimizar área de un rectángulo

El planteamiento es correcto (tanto la función como la restricción). Pero, al resolverla te tiene que dar $x^2=y^2=2$, de donde obtienes cuatro puntos $(\sqrt{2},\sqrt{2}),\,(-\sqrt{2},\sqrt{2}),\,(-\sqrt{2},-\sqrt{2}),\,(\sqrt{2},-\sqrt{2})$.

[skinner]

Re: Optimizar área de un rectángulo

Lo comprobaré, muchas gracias y un saludo.

[kuvala]

Re: Optimizar área de un rectángulo

Hola skinner!! Ese problema lo hice ya hace un par de semanas y yo lo que hice fue considerar solo el primer cuadrante donde se encontraba el cuadrado inscrito en la circunferencia y optimizar ahí. El máximo que te salga ahí será necesariamente el máximo que se podrá incluir en la circunferencia de radio R, solo que viendolo en los demás cuadrantes también. Espero que te haya ilustrado un poco la forma de hacerlo, pero de todas formas, si necesitas la resolución, te la cuelgo.

Un Saludo