1r ciclo Problema con limites trigonometricos.

[_OJ_287_]

Hola buenas. No se como se resuelven estos limites a ver si alguien me puede ayudar:

Lim x->0: x^2 *csc x*tan x
Limx->0: cos ((\pi - pi (cosx^ 2))/x^2 )

Gracias de antemano

[Cat_in_a_box]

Re: Problema con limites trigonometricos.

Hola alelanda,
Supongo que el primero de los límites es:

$\lim_{x\to 0} x^2cscx(x)\tan (x)$

Recuerda que la cosecante es: $csc(x)=\dst\frac{1}{\sin (x)}$

Por tanto, puedes escribir el límite del siguiente modo:

$\lim_{x\to 0} x^2cscx(x)\tan (x)=\lim_{x\to 0} \dst\frac{x^2\tan (x)}{\sin (x)}$

Si sustituyes podrás observar que se trata de una indeterminación del tipo 0/0, por lo que aplicando la regla de L'Hôpital:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


Haciendo las derivadas, obtienes el siguiente límite (comprúebalo por si me he equivocado al operar):

$\lim_{x\to 0}\dst\frac{x(x+\sin (2x)}{\cos (x^3)}$

Aplicando las propiedades de los límites, te recuerdo, que el límite de un cociente es el cociente de los límites, por tanto:

$\lim_{x\to 0}\dst\frac{x(x+\sin (2x)}{\cos (x^3)}=\dst\frac{{\lim_{x\to 0} x(x+\sin(2x)}}{{\lim_{x\to 0}\cos(x)^3}}$

Por otro lado, puedes escribir que el límite de coseno de x al cubo es igual al límite de coseno de x todo ello elevado al cubo, es decir:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y esto, simplemente sustituyendo te darás cuenta que el límite del coseno de x cuando x tiende a cero es 1, por lo que 1 al cubo es también uno. De modo que nos queda un límite bastante sencillo:

$\lim_{x\to 0}\dst{x(x+\sin (2x)}$ y ¿cuál es el límite de un producto? Pues el producto de sus límites, por lo que:

$\lim_{x\to 0}\dst{x(x+\sin (2x)}=\lim_{x\to 0}x \cdot \lim_{x\to 0} (x+\sin (2x))= \bold{0}$

Bueno, en lo que respecta al otro límite, conviene que lo pongas en LaTeX para evitar confusiones, interpreto que es:

$\lim_{x\to 0}=\cos\left(\dst\frac{\pi-\pi\cos^2(x)}{x^2}\right)$

Pues bien, teniendo en cuenta la continuidad de $\cos (x)$ en $x=\pi$ pues expresar el límite del siguiente modo:

$\lim_{x\to 0}\cos\left(\dst\frac{\pi-\pi\cos^2(x)}{x^2}\right)=\cos\left(\lim_{x\to 0}\dst\frac{\pi-\pi\cos^2(x)}{x^2}\right)$

Como ves es una indeterminación del tipo 0/0 al igual que el anterior límite, por lo que para resolverlo utiliza la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador. Si llegas a otra indeterminación vuelve a utilizar esta regla hasta llegar a un límite que puedas calcular. Normalmente en este tipo de ejercicios hay que aplicar L'Hôpital unas cuantas veces y luego por lo general sacas factor común y ya está, pero no tengo ahora mucho tiempo para resolver este, si bien es prácticamente igual, en el método de resolverlo que el anterior, si bien hay que tener en cuenta la continuidad de $\cos(x)$ para expresar los límites de distintas formas y así calcularlos.

Saludos,

[_L_]

Re: Problema con limites trigonometricos.

si hubieses sustituido tan por sen/cos se te va el seno y te queda solo x^2/cosx y cuando x tiende a 0 el denominador va a 1 y el numerador a 0 asi que 0. ^_^

[javier m]

Re: Problema con limites trigonometricos.

$\lim_{x\to 0}\cos\left(\dst\frac{\pi-\pi\cos^2(x)}{x^2}\right)=\cos\left(\lim_{x\to 0}\dst\frac{\pi-\pi\cos^2(x)}{x^2}\right)$

sacas factor comun

$\cos\left(\lim_{x\to 0}\dst\frac{\pi-\pi\cos^2(x)}{x^2}\right)=\cos\left(\lim_{x\to 0}\dst\frac{\pi(1-\cos^2(x))}{x^2}\right)$

$\sin^2 x=1-cos^2 x$

$\cos\left(\lim_{x\to 0}\dst\frac{\pi(1-\cos^2(x))}{x^2}\right)=\cos\left(\lim_{x\to 0}\dst\frac{\pi\sin^2 x}{x^2}\right)=\cos\left(\lim_{x\to 0}\dst\frac{\pi\sin^2 x}{x^2}\right)$

acuerdate de que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

así

$\cos\left(1^2\lim_{x\to 0}\pi\right)=-1$

[_OJ_287_]

Re: Problema con limites trigonometricos.

Ok.Me habeis explicado muy bien , gracias a todos.