1r ciclo integral de líneas con una línea bastante complicada para mí

[rupiopan]

tenemos:
sea C la línea cerrada por la recta y=x, el arco de circunferencia x^2+y^2=1 que está sobre el primer cuadrante, y el segmento que une los puntos (0,1) y (0,0), recorrida en sentido positivo (of course). y ahora calculamos

\oint yx^2dx -x^3dy

estoy haciendo varios ejercicios de parametrización de superficies pero no veo manera sencilla, ni dificil, de parametrizar esta si hubiera que hacer esto último.

Gracias de antemano y saludos everyboy

[Al2000]

Re: integral de líneas con una línea bastante complicada para mí

tenemos:
sea C la línea cerrada por la recta y=x, el arco de circunferencia x^2+y^2=1 que está sobre el primer cuadrante, y el segmento que une los puntos (0,1) y (0,0), recorrida en sentido positivo (of course). y ahora calculamos

\oint yx^2dx -x^3dy

...

Dime si esto te sirve:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \oint_C \left(y x^2\,dx - x^3\,dy \right) = & \int_{0}^{\sqrt 2/2}\! x \cdot x^2\,dx - \int_{0}^{\sqrt 2/2}\! y^3\,dy & &\text {recta y = x}\\<br /> + & \,\int_{\sqrt 2/2}^{0}\! \sqrt {1-x^2} \cdot x^2\, dx - \int_{\sqrt 2/2}^{1}\! \left(\sqrt {1-y^2}\right)^3\,dy & &\text {arco circular}\\<br /> + & \, 0 - \int_{1}^{0}\! (0)\, dy & &\text {segmento (0,1)-(0,0)}\\<br /> = & \boxed {-\frac {\pi - 2} 8}<br /> \end{aligned}<br />$$

Saludos,

Al

PD. Parece que me apresuré al publicar lo anterior. He resuelto el problema parametrizando la curva y el resultado que obtengo es diferente (-0.2313 contra el publicado, -0.1427). Lo triste es que no veo el error

[rupiopan]

Re: integral de líneas con una línea bastante complicada para mí

para parametrizar la curva también se hace por trozos? voy a intentarlo y más tarde te cuento.

[Al2000]

Re: integral de líneas con una línea bastante complicada para mí

Si, parametrizas cada sección.

Ya descubrí mi error al resolver la integral paramétrica, uno de esos tontos errores que miras una y otra vez y no los ves. El resultado correcto es $-(\pi - 2)/8$.

Saludos,

Al

[rupiopan]

Re: integral de líneas con una línea bastante complicada para mí

claro, la intregral sobre la línea de la recta es 0,. entiendo lo que explicas perfectamente. pero ahora si quiero parametrizar la linea curva (no se escribir esos símbolos to wapos que escribes tu)

tengo x=t , y=sqrt (1-t^2). sería esto no?

he hecho muchísimos ejercicios de integrales dobles (areas) y triples (volúmenes) pero no entiendo que es lo que hacemos cuando hacemos una integral de linea.
me podrías explicar que es la integral de linea en sí?

me has ayudado mucho, gracias!

[Al2000]

Re: integral de líneas con una línea bastante complicada para mí

claro, la intregral sobre la línea de la recta es 0,. entiendo lo que explicas perfectamente. pero ahora si quiero parametrizar la linea curva (no se escribir esos símbolos to wapos que escribes tu)

tengo x=t , y=sqrt (1-t^2). sería esto no?

he hecho muchísimos ejercicios de integrales dobles (areas) y triples (volúmenes) pero no entiendo que es lo que hacemos cuando hacemos una integral de linea.
me podrías explicar que es la integral de linea en sí?
...

La integral es cero en ambos segmentos rectilíneos. En el primer segmento, $y = x \quad \Rightarrow \quad dy = dx$ y el integrando es cero. En el otro segmento rectilíneo $x = 0 = \text {ctte} \quad \Rightarrow \quad dx = 0$ y de nuevo el integrando es cero. La única parte que contribuye es la integral sobre el arco circular. La parametrización que tu propones es una posibilidad, yo diría que mas bien innecesaria puesto que simplemente estás escribiendo que $\dst y = \sqrt {1-x^2}$. En ese caso tendrías que correr el "parámetro" desde $\dst \sqrt 2/2$ hasta cero.

Mi parametrización fue diferente: $\dst x = \cos \left(\frac \pi 4 t\right),\,\,y = \, \mathrm {sen} \, \left(\frac \pi 4 t\right)$, corriendo el parámetro desde 1 hasta 2.

Respecto a tu pregunta sobre las integrales de línea, estoy lejos de ser un experto. Mi experiencia con éllas es la que resulta de la evaluación del trabajo, ya sabes, esas integrales en las cuales el valor de la integral depende del valor de una función, en mi ejemplo la fuerza, con la posición a lo largo de alguna trayectoria. Por supuesto que la mas sencilla, el cálculo de la longitud de una curva, también es una integral de línea. Otros ejemplos que me vienen a la mente serían el cálculo del potencial a partir del campo (que es en esencia la misma del trabajo) y el cálculo de la circulación de un campo vectorial cuando aplicas la ley de Ampère o la ley de Faraday. En algún curso de variable compleja también me topé con las integrales de línea, ya de forma mas abstracta, pero poco recuerdo de eso.

Saludos,

Al

[rupiopan]

Re: integral de líneas con una línea bastante complicada para mí

estoy pillando un poco el tema. me gusta más tu parametrización. totalmente claro lo de los límites.

estás hecho un experto en el tema, te lo digo de verdad. muchas gracias