1r ciclo Problema (no se ni como llamarlo)...

[_OJ_287_]

Hola buenas!
No se ni por donde coger este problema.
................x si x= 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5...
Sea:f(x)=
................x^2 en otro caso.

Bien, pues me pide:

a- Calcule todos los puntos donde f(x) es continua. ¿En concreto es continua en x=0?

b-Verdadero falso?Justifique su respuesta. Para toda pareja de numeros reales a y b, existe un valor x entre a y b tal que: f(x)=(f(a)+f(b))/2.

c-Calcule los puntos donde f(x) es diferenciable. ¿En particular es diferenciable en x=0?

Me parece que hay que usar el valor medio, pero ni idea como.
Bueno gente, gracias, un saludo.

[carmelo]

Re: Problema (no se ni como llamarlo)...

Hola:

Continuidad en $x=0$.
Consideremos el límite lateral por izquierda $\dst\lim_{x\to0^-} f(x)=\dst\lim_{x\to0^-} x^2=0$
Ahora consideremos el límite lateral por derecha.
Facilmente podemos ver que $0\leq f(x)\leq x$ si $x\in[0,1]$, entonces por el teorema de la función comprendida tenemos que:
$\dst\lim_{x\to0^+} f(x)=0$, por último vemos que $f(0)=0$, por lo tanto $f(x)$ es continua en $x=0$.
La función no es continua en los puntos $x=\dst\frac1k,k=2,3,\ldots$

Saludos
Carmelo