1r ciclo Integral de superficie1

[skinner]

Buenas. Estudiando los apuntes me he encontrado con una cosa un poco rara. ESTOS son los apuntes. Es en la página 3 de 5, en aquella parte donde pone

"NOTACIÓN. Si usamos las componentes del campo vectorial F=(P,Q,R) y expresamos el producto vectorial fundamental en términos de los determinantes jacobianos: [...]"

¿Qué es eso que ponen? ¿A qué determinante jacobiano se refieren, si hasta el momento no se ha realizado ningún cambio de variables para parametrizar la superficie? ¿Y qué quiere decir esa notación rara del final? Por ejemplo, véase el ejercicio 3 apartado 4 (página 4 de 5) ¿Cómo interpreto yo esa integral?

Una última pregunta: ¿de qué depende el signo de una integral de flujo? Porque arriba pone (seguimos en la página 3) que depende de la parametrización; puede que el vector Normal apunte hacia un lado o hacia otro. ¿Cuál es el resultado con el signo correcto? ¿Se ha establecido algún criterio al respecto?

Mil gracias, como siempre.

Un saludito!

[arreldepi]

Re: Integral de superficie1

El criterio para escoger el sentido del vector normal, va según cómo escojas el sentido del contorno de tu superficie: el criterio es según la regla de la mano derecha. Por ejemplo, si tu superficie es un círculo, su contorno es la circunferencia y, si tú escoges recorrerla en sentido horario, el vector normal irá hacia abajo, si lo haces en sentido antihorario, irá hacia arriba. Entonces, simplemente tienes que escoger un sistema de referencia y, en base a ello, decidir si es positivo (entrante) o negativo (saliente).

El jacobiano aparece de forma natural al hacer el cambio de variable (es un poco largo de demostrar), pero coincide con el producto los factores de escala (que supongo que te definirán cuando hagas cordenadas curvilíneas). Una justificación para que aparezca es que cada cosa tenga sus unidades, de forma que si haces el cambio $f(x,y)\mapsto f(u,v)$, el elemento de superficie $\dd S$ en las nuevas coordenadas será

$$\dd S = \dd x\dd y = J \dd u\dd v,$$

donde $J$ es el jacobiano del cambio. En coordenadas polares, por ejemplo, el cambio que hacemos es $(x,y)\mapsto (\rho,\phi)$, si el elemento de superfície fuese simplemente $\dd\rho\dd\phi$, pues ya se ve que no tiene dimensiones de superficie, así que el resultado del jacobiano del cambio es:

$$J = \begin{vmatrix}\dst \frac{\partial x}{\partial\rho}&\dst \frac{\partial x}{\partial \phi}\\ \dst\frac{\partial y}{\partial \rho}&\dst\frac{\partial y}{\partial\phi}\end{vmatrix}= \rho.$$

De manera que, al pasar de cartesianas a polares, el elemento de superficie toma la forma

$$\dd S =\dd x\dd y =\rho\dd\rho\dd\phi,$$

que, como ves, tiene dimensiones de superfície.

En este enlace, tienes un ejemplo resuelto del cálculo del flujo de un campo, para el cual se tuvo que hacer el producto vectorial del jacobiano para encontrar el vector normal.

Saludos!

[skinner]

Re: Integral de superficie1

Hola arreldepi. Gracias por responder. Ya había usado antes el jacobiano en cambios de variables para integrales dobles. No entiendo nada del post al que me redirigiste pues todavía no he empezado con Stokes (es el tema siguiente), y simplemente necesito que me digas por qué hacen mención a un producto vectorial (o producto cruz, como quieras) cuyas componentes son determinantes jacobianos. Si hay determinantes jacobianos, hay cambios de variables, hasta ahí de acuerdo. Pero ¿de forma alguna está relacionado el producto vectorial con los cambios de variable y los determinantes jacobianos? Más sencillo quedaría si pudieras ponerme un ejemplo.

Gracias arreldepi, pero la duda sigue en el aire

Un saludo!

[arreldepi]

Re: Integral de superficie1

Si no recuerdo mal el vector normal en $p_0=(x_0,y_0,z_0)$ se define como

$$\hat n = \frac{\vec\nabla f}{\left|\vec\nabla f\right|}$$

en paramétricas esto es, para $p_0=\vec r(u,v)$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[skinner]

Re: Integral de superficie1

Pero eso no tiene nada que ver con los determinantes jacobianos, ¿no? Y en su caso, ¿de dónde has concluido el resultado que has expuesto? ¿Y de qué forma afecta a que las componentes de un producto vectorial puedan expresarse con determinantes jacobianos? Y de esta forma, ¿cuándo tengo que usarlo y para qué? (y lo más importante, ¿cómo?)

Perdona tantas preguntas, pero necesito que me quede clarinete :P

Gracias

Un saludito!

NOTA: Insisto y vuelvo a remitir a ESTE enlace, y a la página 3 de 5, donde se lee "NOTACIÓN. Si usamos las componentes del campo vectorial[...]". Ahí y sólo ahí es donde reside mi duda. No sé a santo de qué viene esa notación ni sé interpretarla. El resto sí lo he entendido todo, y sé para qué se usa un determinante jacobiano (en integrales dobles y triples cuando hacemos cambios de variables).

[arreldepi]

Re: Integral de superficie1

Mmh, has visto algo de coordenadas curvilíneas? Lo digo para saber por dónde empezar.

[skinner]

Re: Integral de superficie1

Si te refieres a integrales curvilíineas, sí. De hecho, lo que llevo estudiado es:

Leccion 2. 1. Integrales dobles sobre rectangulos
Leccion 2. 2. Integrales sobre regiones proyectables
Leccion 2. 3. Cambio de variables en integrales dobles
Leccion 2. 4. Area de una superficie
Leccion 2. 5. Integral triple
Leccion 2. 6. Cambio de variables en integrales triples
Leccion 3. 1. Integrales curvilineas
Leccion 3. 2. Independencia del camino. Campos conservativos
Leccion 3. 3. El teorema de Green
Lección 3. 4. Integrales de superficie


Un saludito!

[skinner]

Re: Integral de superficie1

Por cierto, viste la NOTA de mi mensaje anterior? (mensaje #5) Lo digo para evitar posibles pérdidas de tiempo

Saludos! Y gracias por tu tiempo

[arreldepi]

Re: Integral de superficie1

Una parametrización $\vec r(u,v)$, se hace de forma que los vectores $\frac{\partial \vec r}{\partial u}$ i $\frac{\partial\vec r}{\partial u}$, sean tangentes a la superfície. De esa forma, un vector normal a la superfície, será el producto vectorial:

$$\frac{\partial \vec r}{\partial u}\times \frac{\partial \vec r}{\partial v}$$

.

Si quieres hacerlo unitario lo divides por su módulo. Supongo (no lo he hecho) que eso debería coincidir con lo que te dicen si usas las mismas variables. Si tengo tiempo, luego lo miro, ok?

[arreldepi]

Re: Integral de superficie1

Por cierto, tienes permiso para colgar esos archivos?

[skinner]

Re: Integral de superficie1

Son públicos: www.matematicaaplicada2.es

A ver si puedes resolverme la duda, o si alguien puede

Un saludo!

[arreldepi]

Re: Integral de superficie1

Me lo he mirado con más calma, todo viene de cómo se definen los vectores $\vec S_u$ y $\vec S_v$. Como te decía (si la parametrización se comporta bien) tienen que ser tangentes a la superficie coordenada, así que un vector normal será

$$\vec n = \vec S_u\times\vec S_v\neq\vec 0$$

Entonces, cómo están definidos estos vectores $\vec S_u$ y $\vec S_v$?

Supón que la parametrización que has hecho es $\vec r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$, entonces, los vectores tangentes serán

$$\begin{aligned}\vec S_u=\frac{\partial \vec r}{\partial u}=\frac{\partial x(u,v)}{\partial u}\hat\imath + \frac{\partial y(u,v)}{\partial u}\hat\jmath+\frac{\partial z(u,v)}{\partial u}\hat k\\ \vec S_v = \frac{\partial \vec r}{\partial v}=\frac{\partial x(u,v)}{\partial v}\hat\imath + \frac{\partial y(u,v)}{\partial v}\hat\jmath+\frac{\partial z(u,v)}{\partial v}\hat k\end{aligned}$$

Ahora, si haces el producto vectorial

$$\vec S_u\times\vec S_v$$

verás las componentes del vector coinciden con los jacobianos del cambio

$$\vec S_u\times\vec S_v = \frac{\partial (y,z)}{\partial(u,v)}\hat \imath + \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}\hat\jmath +\frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}\hat k$$

Hazlo y si no te sale vuelve a preguntar.

Saludos!

[skinner]

Re: Integral de superficie1

Gracias, ahora sí sé de dónde sale )

Presupongo que esto se usa cuando la función vectorial que te dan: F(P,Q,R) está definida en unas coordenadas (digamos rectangulares) y la parametrización de la superficie la haces en otras coordenadas (digamos esféricas). ¿No? En cuyo caso con estas fórmulas no tendrías que hacer ningún cambio sino seguir la regla dada. ¿No?

Un saludo y gracias!!

[arreldepi]

Re: Integral de superficie1

En el documento no está muy claro, pero yo diría que sí. El jacobiano aparece al usar coordenadas curvilíneas por aquello que te decía de que la derivada tiene que ser tangente a la superficie. En el caso de cartesianas, el vector normal lo calculas, por ejemplo, con el gradiente. Cuando tienes alguna parametrización es cuando empiezan a aparecer jacobianos.