1r ciclo Parametrizar un cuerpo

[skinner]

Buenas. Tengo el siguiente ejercicio: calcular la superficie de la porción inferior de la esfera $x^2+y^2+z^2=2$ cortada por el cono $z^2=x^2+y^2$

Pero, ¿cómo puedo parametrizar la superficie intersección? Pretendo hacerlo sin usar coordenadas rectangulares, por lo que una parametrización del tipo (x,y,z(x,y)) no me serviría. Más bien quisiera usar coordenadas esféricas. Es decir:

$x=\rho\sin\phi \cos\theta$
$y=\rho\sin\phi \sin\theta$
$z=\rho\cos\phi$

Por lo que la ecuación de la esfera me queda: $\rho=\sqrt{2}$ y la ecuación del cono resulta: $\phi=\pi/4$ (este resultado es uno de los que no me convence; si nos dicen la parte INFERIOR de la esfera cortada por el cono dado, ¿por qué me sale una colatitud positiva? ¿No debería ser negativa? (en la solución también viene positiva).

Y el dominio D donde se mueven las variables $x$ e $y$ (la curva intersección de los dos cuerpos) es:

$D=\left\{(x,y)\in R^2:x^2+y^2\leqslant 1 \right\}$ (en el plano z=-1)

y en coordenadas esféricas:

$D_{*}=\left\{(\rho,\phi)\in R^2:\rho^2 \sin^2\phi \leqslant 1 \right\}$

Bueno, hasta aquí llego yo. No sé cómo parametrizar la superficie resultante de la intersección (es una especie de cucurucho invertido; digo cucurucho porque la parte inferior no es plana, sino que es un contorno curvo como consecuencia del corte con la esfera)

En la solución, se dice: "For the lower portion of the sphere cut by the cone, we get $\phi=\pi$". Sé que hace alusión al contorno de D, que es una circunferencia de radio 1 situada en el plano z=-1, ¿pero qué es ese ángulo del que hablan?

Alguna ayuda porfavor!

Un saludo y gracias como siempre.

[[Beto]]

Re: Parametrizar un cuerpo

Hola, lo que tienes que hacer es encontrar el ángulo que encierra la superficie de intersección, fíjate que si tomas la parte superior de la esfera te queda más fácil de calcular, al final solamente tendrías que restar eso al área total de la esfera para obtener lo que te piden. Te adjunto un dibujo para que lo visualices mejor.

[skinner]

Re: Parametrizar un cuerpo

Pero sigo sin comprender cómo parametrizar dicha superficie con los datos que obtuve (ver mi primer post). Además, me parece que esa gráfica no se corresponde con los datos del problema

¿Alguien puede ayudarme? ¿Qué es ese angulo "pi" del que habla la solución? ¿Cómo lo han encontrado, analíticamente? Y finalmente, ¿cómo puedo terminar de parametrizar la superficie?

Un saludo!

[[Beto]]

Re: Parametrizar un cuerpo

Pero sigo sin comprender cómo parametrizar dicha superficie con los datos que obtuve (ver mi primer post). Además, me parece que esa gráfica no se corresponde con los datos del problema

La figura si corresponde al ejercicio

¿Alguien puede ayudarme? ¿Qué es ese angulo "pi" del que habla la solución? ¿Cómo lo han encontrado, analíticamente? Y finalmente, ¿cómo puedo terminar de parametrizar la superficie?

La superficie ya te la dan parametrizada, fíjateque es la esfera, parametrizar una esfera si lo sabes, lo único que hace falta es definir los límites en los cuales realizaras la integral de superficie, esos límites los encuentras tomando en cuenta la intersección de las superficies, fíjate para que valor de z se intersectan, a partir de eso determina los ángulos, si graficas tendrias el valor de z, el radio y conocerias el ángulo para el cual debes de integrar.

[skinner]

Re: Parametrizar un cuerpo

Es imposible que la figura corresponda al ejercicio pues el mallado rojo debería ser un cono en lugar de un paraboloide. Eso sí, un error mío es no haber especificado que se debe parametrizar la parte inferior del corte.

Una duda. Si yo tengo la ecuación (en esféricas) $\rho=\sqrt{2}$, ¿cómo puedo parametrizar (en esféricas) dicha ecuación?

Un saludete gracias por tu atención.

Por cierto, ¿por qué ya no puedo pulsar más el botón "¡Gracias!"?

[[Beto]]

Re: Parametrizar un cuerpo

Es imposible que la figura corresponda al ejercicio pues el mallado rojo debería ser un cono en lugar de un paraboloide. Eso sí, un error mío es no haber especificado que se debe parametrizar la parte inferior del corte.

Es un cono.

Una duda. Si yo tengo la ecuación (en esféricas) $\rho=\sqrt{2}$, ¿cómo puedo parametrizar (en esféricas) dicha ecuación?

es fácil solamente tienes que escribir (x,y,z) en función de coordenadas esféricas, tu escribiste esas ecuaciones en #1, solamente tienes que reemplazar $\rho$ por el valor correspondiente.

[skinner]

Re: Parametrizar un cuerpo

Vale muchas gracias, no vi que era un cono :P

Un saludo y gracias por tu tiempo ^_^