1r ciclo Describir ecuacion de la superficie de un cubo

[skinner]

Hola. Sé que es una pregunta un poco básica pero ¿cómo puedo escribir la ecuación de la superficie del cubo [0,1]x[0,1]x[0,1]? Sé que lo que hay entre corchetes es el recorrido de las variables x,y,z. Sé dibujar el cubo en el espacio. Y sé describir cada cara con desigualdades. Por ejemplo, para la cara de arriba obtengo:

$\pi_{1}:z=1,0\leqslant x\leqslant 1,0\leqslant y\leqslant 1$

Pero no sabría de qué forma juntar todas las caras de forma que me quede la ecuación del cubo. La necesito para parametrizar su superficie. Si me piden calcular una integral de flujo de un campo F dado en la superficie S del cubo, ¿cómo puedo hacerlo? Resulta extraño porque para cualquier otra figura como un cono, esfera, paraboloide o cilindro puedo hacerlo, pero no para un cubo.

Un saludo y gracias

[skinner]

Re: Describir ecuacion de la superficie de un cubo

Por cierto, ¿podría hacer la integral de flujo en cada una de las 6 caras y sumarlas todas para obtener la integral de flujo sobre S?

[carroza]

Re: Describir ecuacion de la superficie de un cubo

Por cierto, ¿podría hacer la integral de flujo en cada una de las 6 caras y sumarlas todas para obtener la integral de flujo sobre S?

Efectivamente. Solamente debes tener en cuenta que el vector que describe la superficie apunta siempre "hacia fuera" del cubo. Esto es, el vector superficie de la cara con z=1, va en la dirección u_z, mientras que el de la cara con z=0 va en la direccion de -u_z.

Por cierto, que si quieres hacer una integral del flujo de un campo vectorial, lo mejos es utilizar el teorema de la divergencia.

[skinner]

Re: Describir ecuacion de la superficie de un cubo

Muchas gracias, ahora me gustaría que me respondieras a la pregunta siguiente: en caso de tener la superficie: $x^2+y^2+z^2=4$ tal que $z\geqslant 2-y$
y me pidiesen la integral de flujo de un campo dado, digamos F=(P,Q,R), ¿tengo que parametrizar esa superficie entera? ¿O puedo mejor considerar dos superficies, una referente a la esfera cortada y otra al "suelo" de la esfera originado por $z=2-y$, calcular dos integrales de flujo diferentes referentes a cada superficie y luego sumarlas?

Y mi duda inicial: ¿cómo puedo escribir la ecuación del cubo [0,1]x[0,1]x[0,1]?

Gracias y saludos!

[carroza]

Re: Describir ecuacion de la superficie de un cubo

Hola.

Para el cubo, no hay una única ecuación para toda la superficie, sino seis ecuaciones para las diferentes carar.

para la esfera cortada por el plano, puedes considerar la parte plana (un círculo), y luego la parte esférica (un casquete esférico).


En cualquier caso, puedes usar el teorema de la divergencia: El flujo del campo vectorial a lo largo de una superficie cerrada arbitraria es igual a la integral de volumen de la divergencia del campo, extendido al volumen encerrado.

La divergencia del campo F=(P,Q,R) es

$\vec \nabla \cdot \vec F = \partial_x F + \partial_y Q + \partial_z R$

[skinner]

Re: Describir ecuacion de la superficie de un cubo

Gracias por tu atención y comprensión.

Un saludo

[Amu]

Re: Describir ecuacion de la superficie de un cubo

Hola, muy buenas. Tengo una duda referente al ejercicio de la esfera y el plano, supongo que lo habremos sacado del mismo boletín... Pero creo que ahí lo que piden es la superficie de la esfera que queda por encima, es decir, yo entiendo que ese "suelo" no entra dentro de la integral de línea a calcular.
Por otro lado, el corte del plano con la esfera es una circunferencia? porque a mi sustituyendo me sale una elipse...
Bueno, si me guías un poco en cómo has parametrizado tú... te lo agradezco
Saludos.

[skinner]

Re: Describir ecuacion de la superficie de un cubo

Hola Amu. Correcto, lo he estado mirando con detenimiento y sólo mencionan los puntos de la superficie de la esfera tales que $z \geqslant (2-y)$.

En cuanto a la intersección, estás en lo cierto. Sustituyendo la z del plano en la ecuación de la esfera:

$x^2+y^2+(2-y)^2=x^2+2y^2-4y=x^2+2\left[ (y-1)^2-1 \right] =0 \Leftrightarrow\boxed{\frac{x^2}{2}+(y-1)^2=1}$

En cuanto a la parametrización... Hay muchas formas de parametrizar la superficie que piden. Por ejemplo, en coordenadas cilíndricas:

$x=r\cos\theta$
$y=r\sin\theta$
$z=z$

Sustituyendo en la ecuación de la esfera y en la del plano:

$r^2+z^2=4$ tales que: $z\geqslant 2-r\sin\theta$

(Nota que al haber impuesto $r^2+z^2=4$, sólo nos referimos a su superficie y no a su interior; así no tendremos en cuenta el trozo ese de plano al que yo me refería).

Definimos el conjunto D

$\dst D:=\left\{ (x,y)\in R^2\mapsto \frac{x^2}{2}+(y-1)^2\leqslant 1 \right\}$

Y por último, la superficie. Recuerda incluir en la parametrización el recorrido de las variables: luego será más sencillo.

$$\boxed{\vec{r}(\theta,z)=(\sqrt{4-z^2}\cos\theta)\hat{i}+(\sqrt{4-z^2}\sin\theta)\hat{j}+(z)\hat{k}}$$

Donde:

$0\leqslant\theta\leqslant2\pi$

$2-r\sin\theta\leqslant z\leqslant 0$

Con coordenadas esféricas más de lo mismo.

Si deseas atreverte con coordenadas rectángulares (las de siempre, x, y, z) te encontrarás con una ventaja y con una desventaja:

Ventaja-->Fácil parametrización de la superficie.
Desventaja-->Complicada integral (o llámale tediosa, como quieras)

La cosa está en afrontar los problemas adecuadamente y con fundamento, de la forma más rápida y sencilla posible sin por ello restar eficacia, de forma que podamos ahorrar tiempo para otras tareas.

Espero no haberme equivocado con la parametrización.

Un saludo y cualquier cosa me dices!

[skinner]

Re: Describir ecuacion de la superficie de un cubo

Por cierto, el producto cartesiano y la norma euclídea salen bastante sencillas. Éstas son:

$\vec{r_\theta}\wedge \vec{r_z}=(\sqrt{4-z^2}\cos\theta,\sqrt{4-z^2}\sin\theta,z)$

y la norma euclídea:

$\left\vert{} \left\vert{} \vec{r_\theta}\wedge \vec{r_z} \right\vert{} \right\vert{} = 2$

Esto nos facilitará la integral de superficie más adelante.

Saludos!