1r ciclo Derivadas exponenciales

[_OJ_287_]

Hola muy buenas a todos!
Vereis, no me salen estas derivadas:

y=x^(x^(1/2))
y=(1/x)^Lnx

Si alguien es tan amable de desarrollarmelas se lo agradeceria. Un cordial saludo!

[neometalero]

Re: Derivadas exponenciales

Para la primera tenemos que:

$$\frac{{x}^{ \sqrt{x} }lnx+2{x}^{ \sqrt{x} } }{2\sqrt{x} }$$

Y la segunda

$$\frac{-2lnx{e}^{-{ln}^{2 }x } }{x }$$

Saludos

[Cat_in_a_box]

Re: Derivadas exponenciales

Hola alelanda,
Son derivadas exponenciales, pero en ambos casos tienes una función elevada a otra función; el método general para hacer este tipo de derivadas sería:

$y=\left(f(x)\right)^{g(x)} , \quad lny=ln\left[\left(f(x)\right)^{g(x)}\right]$

Simplemente tomamos logaritmos neperianos y aplicamos las propiedades de éstos, posteriormente derivamos:

$lny=g(x) \cdot ln[f(x)]$
$\dst\frac{y'}{y}=g'(x)\cdot ln[f(x)]+g(x)\dst\frac{f'(x)}{f(x)}$

Luego la derivada de esta función elevada a otra función será:

$y'=\left[g'(x)\cdot ln[f(x)]+g(x)\dst\frac{f'(x)}{f(x)}\right]\cdot y$

Pues ahora lo aplicamos a las que tienes, la primera sería:

$y=x^{x^{\dst\frac{1}{2}}}\Rightarrow y=x^{\sqrt{x}}$

$lny=ln\left[x^{\sqrt{x}}\right]\Rightarrow lny=\sqrt{x}\cdot lnx$

$\dst\frac{y'}{y}=\dst\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot lnx +\sqrt{x}\cdot \dst\frac{1}{x}$

$y'=\left[\dst\frac{lnx}{2\sqrt{x}}+\dst\frac{\sqrt{x}}{x}\right]\cdot y$

$y'=\left[\dst\frac{lnx}{2\sqrt{x}}+\dst\frac{\sqrt{x}}{x}\right]\cdot x^{\sqrt{x}}=\left[\dst\frac{lnx}{2\sqrt{x}}+\dst\frac{1}{\sqrt{x}}\right]\cdot x^{\sqrt{x}}$

Ya simplifica tú si puedes, pero la derivada sería esa. La otra derivada que tienes es exáctamente igual a este, del tipo una función elevada a otra función.

Saludos,

[Cat_in_a_box]

Re: Derivadas exponenciales

Lo siento neometalero, no había visto tu respuesta mientras estaba escribiendo la mía

Saludos,

[_OJ_287_]

Re: Derivadas exponenciales

OK. Muchas gracias a los dos.

[neometalero]

Re: Derivadas exponenciales

No te disculpes, tu respuesta es más completa y le habrá ayudado bastante más sin duda.
Saludos