1r ciclo Producto escalar.

[skinner]

Buenas. Es una duda que, siguiendo por este camino, persistirá hasta el final de mi carrera. Así que la pregunta ahora o nunca: si tenemos dos vectores, B y dA, ¿cómo se representa gráficamente B·dA?

Es que estoy estoy estudiando flujos en magnetismo, y qusiera saber cómo puedo representar gráficamente ese producto escalar, d$\varphi$ = B·dA. O cualquier otro, ¿cómo puedo representar a·b? Siendo a y b dos vectores libres cualesquiera.

Agradecería un dibujito aunque sea mal hecho.

Saludos!

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Re: Producto escalar.

Hols skinner!

¿cómo puedo representar a·b? Siendo a y b dos vectores libres cualesquiera.

Hm, no sé muy bien a qué te refieres con representar gráficamente el producto escalar de dos vectores, pues tienes que tener en cuenta antes de todo que el producto escalar de dos vectores es un número real que bueno, resulta de multiplicar los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman.

No sé muy bien entonces a qué te refieres pues, ¿representar gráficamente un número real? En todo caso, el producto escalar tiene una interpretación geométrica, y es quizá eso a lo que te refieres, pues se puede definir también el producto escalar de dos vectores, no nulos claro está, como el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Agradecería un dibujito aunque sea mal hecho.

Como gustes, has dicho mal hecho así que atente a las consecuencias



Ahí tienes la interpretación geométrica del producto escalar, ves que:

$\cos\theta=\dst\frac{OA'}{|\vec a|} \Rightarrow OA'=|\vec a|\cos\theta$

$\vec a \cdot \vec b= |\vec b| OA' \Rightarrow OA'=\dst\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|}$

A OA' le llamamos proyección del vector $\vec a$ sobre $\vec b$ y decimos pues que:

$\dst Proy_{\vec a}\vec b=\dst \dst\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|}$

Esta es la interpretación geométrica del producto escalar, pero repite, el resultado de éste es un número real, por lo que representarlo gráficamente...

Si estás estudiando el flujo magnético, pues: $d\Phi_m=\vec B\cdot d\vec S$

$\Phi _m=\dst\int_S \vec B \cdot d\vec S=\vec B\cdot\vec S=BS\cos\theta$

Un dibujito similar al que puedes aplicar lo de las proyecciones, referente al campo magnético y al concepto de flujo, pues más o menos es esto (ya sabes, mal hecho )



Saludos,

[skinner]

Re: Producto escalar.

Antes de nada gracias por tu detallada respuesta, te la agradezco enormemente

Sin embargo, no acabo de pillar bien esta parte:

$\vec a \cdot \vec b= |\vec b| OA' \Rightarrow\ldots$

Justo en esa igualdad me pierdo. Es decir, no sé por qué el producto escalar a·b es igual al módulo de b multiplicado por el segmento OA'

Me ayudarías mucho si me lo aclarases

Saludos!

PD: Por cierto, fue un error mío usar la palabra "representar". Me quería referir, como bien has corregido, a la interpretación geométrica.

[Cat_in_a_box]

Re: Producto escalar.

Hola de nuevo skinner,
Esa es la definición de producto escalar de dos vectores, el producto del módulo de uno por la proyección del otro sobre este, y eso es lo que he hecho simplemente.
Fíjate, normalmente el producto escalar lo hacemos así:

$\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$

Ahora bien, como ves en el dibujo, el coseno del ángulo que forman estos dos vectores, pura trigonometría, es:

$\cos\theta=\dst\frac{OA'}{|\vec a|}$

Por tanto, podemos sustituir la expresión del coseno en la primera expresión, obteniendo:

$\boxed{\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=|\vec a||\vec b|\cdot\dst\frac{OA'}{|\vec a|}=|\vec b|OA'}$

Y OA' es lo que ya te he dicho, la proyección del vector a sobre el vector b. De hecho fíjate que:

$\vec a\cdot\vec b=\dst Proy_{\vec a}\vec b |\vec b|=\dst \dst\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|}|\vec b|=\vec a\cdot\vec b$

Mira, para que lo veas mejor y para generalizar más la interpretación geométrica, supongamos lo siguiente (cambio la notación para no liarnos con el ejemplo anterior):



En este caso:

$\cos(180-\varphi)=\dst\frac{OH}{|\vec v|}\Rightarrow OH=|\vec v|\cos(180-\varphi)$

Ahora bien, como: $\cos(180-\varphi)=-cos\varphi$, tenemos que:

$OH=|\vec v|\cos(180-\varphi)=-|\vec v|\cos\varphi$

Por tanto:

$\vec u\cdot \vec v=|\vec u||\vec v|\cos\varphi=-|\vec u|OH$

Podemos decir que en general: $|\vec u\cdot\vec v|=|\vec u|OH$ es decir, el módulo del vector u por la proyección de v sobre u.

Saludos,

[Al2000]

Re: Producto escalar.

...
Podemos decir que en general: $|\vec u\cdot\vec v|=|\vec u|OH$ es decir, el módulo del vector u por la proyección de v sobre u.
...

Y viceversa... a conveniencia también podemos decir que $\vec u \cdot \vec v$ es igual al módulo de $\vec v$ por la proyección de $\vec u$ sobre $\vec v$.

skinner, hablando ya específicamente del flujo de un campo vectorial a través de una superficie plana, podemos interpretar el producto de $\vec v \cdot \vec S$, siendo $\vec v$ un campo vectorial cualquiera uniforme y $\vec S$ el vector asociado a la superficie en cuestión, como el flujo que produce la componente normal del campo a través de la superficie. La idea es que la componente tangente a la superficie no la atraviesa y por lo tanto no produce flujo. La otra forma de mirar el asunto es que el flujo efectivo es el que produce el campo $\vec v$ a través de la proyección de la superficie perpendicularmente al campo.

Ambas formas de interpretar en flujo son útiles en distintas situaciones.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Producto escalar.

Muchas gracias a los dos, realmente me ha sido de utilidad.

Saludos.