1r ciclo integral cos^-3 y sen^-3

[kyubirr]

hola me gustaria que me echaseis una mano para resolver estas itnegrales ya que no lo consigo y me salen muy a menudo para medir longitudes de arco y algunos volumenes
son estas 2:
$\int\frac{1}{{(\cos x)}^{3 } } dx$ y $\int\frac{1}{{(\sin x)}^{3 } } dx$

existe su primitiva ya que el ordenador me la da pero no consigo calcularlas creo q necesito un cambio de variable que no he encontrado xD

muchas gracias
un saludo

[skinner]

Re: integral cos^-3 y sen^-3

Hola kyubirr. Siempre que tengas una fracción en cuyo denominador aparezcan exponentes impares de funciones trigonométricas, usa el cambio:

$$\boxed{t=\tan\frac{x}{2}}$$

(excepto casos evidentes). En la mayoría de los casos por no decir en casi todos, la integral se simplifica mucho.

Ten en cuenta que necesitarás conocer algunas cosas (que puedes deducir como expongo a continuación):

$$t=\tan\frac{x}{2}\Rightarrow \boxed{dt=(1+t^2)dx=\frac{2dt}{1+t^2}}$$

$$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\Rightarrow \sin(x)=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=\dst \frac{2\sin\frac{x}{2}\cos{x}{2}}{{\sin}^{2} \frac{x}{2}+{\cos}^{2} \frac{x}{2}}\Rightarrow \boxed{\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}}$$

$$\cos(2x)={\cos}^{2}(x)-{\sin}^{2}(x)\Rightarrow \cos(x)={\cos}^{2}\frac{x}{2}-{\sin}^{2}\frac{x}{2}=\ldots \Rightarrow \boxed{\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}}$$

$$\tan(2x)=\frac{2\tan(x)}{1-tan^2(x)}\Rightarrow \tan(x)=\frac{2\tan\frac{x}{2}}{1-tan^2\frac{x}{2}}\Rightarrow \boxed{\tan(x)=\frac{2t}{1-t^2}}$$

En este caso quizá no sea tan efectivo este método (o quizá sí, si sabes expandir un cociente). Pero para muchísimos otros te alegra enormemente la vida.

Un saludo!

[[Beto]]

Re: integral cos^-3 y sen^-3

Hola, te ayudaré con la primera integral (la otra se desarrolla de manera análoga):

Nota que se puede escribir de la siguiente manera:

$$I=\int\frac{1}{\cos^2x\cos x}\dd x=\int\frac{1}{(1-\sin^2x)\cos x}\dd x=\int\frac{1}{(1-\sin x)(1+\sin x)\cos x}\dd x$$

Luego haciendo el cambio de variable $1+\sin x=u\Rightarrow \cos x\dd x=\dd u$, llegas a que:

$$I=\int\frac{1}{(2-u)^2u^2}\dd u$$

lo cual al usar fracciones parciales es:

$$I=\int\left[\frac{-1}{4(u - 2)} + \frac{1}{(u - 2)^2} + \frac{1}{4u} + \frac{1}{4u^2}\right]\dd u$$

luego solamente te queda terminar cada una de las integrales y reemplazar el cambio de variable realizado.

[Al2000]

Re: integral cos^-3 y sen^-3

Se te colaron unos cuadrados demás en la segunda expresión...

[[Beto]]

Re: integral cos^-3 y sen^-3

Se te colaron unos cuadrados demás en la segunda expresión...

¿a mi o a skinner?

[kyubirr]

Re: integral cos^-3 y sen^-3

muchas gracias he estado revisando y lo Beto esta bien
lo de separar el 1-sen como producto de la diferencia no se me habia ocurrido y me quedaba atascado ahi haciendo cambios de variable raros

[Cat_in_a_box]

Re: integral cos^-3 y sen^-3

Hola kyubirr,

La verdad es que el método que te han enseñado es bastante ingenioso, no sé, me habría costado un rato pensar ese modo, seguramente habría tenido que echar mano de las razones trigonométricas . Cuando he visto tu integral, la primera, lo primero que se me ha ocurrido ha sido esto:

$\dst\int \dst\frac{1}{\cos^3(x)}dx=\dst\int sec^3(x)dx$

Y he pensando, hm, qué facilita así, parece una típica integral por partes, pero madre mía, lo que se ha complicado esto. Te pongo mi método, si bien es más tedioso y pesado de hacer, sin duda, pero no sé, para que lo veas y a ver si está bien.

Al principio he probado por un cambio variable, me explico:

$\dst\int \dst\frac{1}{\cos^3(x)dx}dx=\dst\int sec^3(x)dx=\dst\int sec(x)sec^2(x)dx, \quad \dst\int udv=uv-\dst\int vdu$

Para hacer el cambio de variable he elegido lo siguiente:

$u=sec(x), \quad du=sec(x)\tan(x)dx$

$dv=sec^2(x)dx, \quad \dst\int dv=\dst\int sec^2(x)\Rightarrow v=\dst\int sec^2(x)dx=\tan (x)$

Por tanto, procedemos a la integración por partes:

$\dst\int sec^3(x)dx=\underbrace{\tan(x)}_v\underbrace{\sec(x)}_u-\dst\int \underbrace{\tan(x)}_v\underbrace{(sec(x)\tan(x))dx}_{du}$

$\dst\int sec^3(x)dx=\tan(x)sec(x)-\dst\int \tan^2(x)sec(x)dx$

Recordemos una identidad trigonométrica, de las básicas, que nos dice que:

$sec(x)=\dst\sqrt{1-\tan^2(x)}\Rightarrow \tan^2(x)=sec^2(x)-1$

Por tanto, podemos sustituir en la integral que tenemos arriba, quedándonos:

$\dst\int sec^3(x)dx=\tan(x)sec(x)-\dst\int sec(x)[sec^2(x)-1]dx=$$\tan(x)sec(x)-\dst\int( sec^3(x)-sec(x))dx$

Teniendo en cuenta las propiedades de las integrales, lo podemos escribir como:

$\dst\int sec^3(x)dx=\tan(x)sec(x)-\dst\int sec^3(x)dx+\dst\int sec(x)dx$

¡Fíjate! Tenemos de nuevo la integral de la secante de x elevado al cubo y con un signo negativo, luego podemos pasarla al otro miembro sumando, por lo que:

$\underbrace{\dst\int sec^3(x)dx +\dst\int sec^3(x)dx}_I=\tan(x)sec(x)+\dst\int sec(x)dx$

$I=\dst\frac{\tan(x)sec(x)+\dst\int sec(x)dx}{2}$

Pensé, ala, ya está resuelto, pero no...¡no me di cuenta de que la integral de secante de x no es inmediata! Así que nada, no disponía de ninguna tabla de integrales así que procedí a hacerla del siguiente modo:

$\dst\int sec(x)dx=\dst\int \dst\frac{1}{\cos(x)}dx=\dst\int\dst\frac{\cos(x)}{\cos^2(x)}dx$$,\quad\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\Rightarrow \cos^2(x)=1-\sin^2(x)$

$\dst\int \dst\frac{\cos(x)}{\cos^2(x)}dx=\dst\int\dst\frac{\cos(x)}{1-\sin^2(x)}dx,\quad \alpha =\sin(x); d\alpha =\cos(x)dx\Rightarrow$$\dst\int\dst\frac{\cos(x)}{1-\sin^2(x)}dx=\dst\int\dst\frac{1}{1-\alpha ^2}d\alpha$

Pongo $\alpha$ para no confundirme con la u del cambio de variable al ''resolver'' la primera integral. Bien, podemos por lo tanto descomponer el denominador e integrar del siguiente modo:

$\dst\frac{1}{1-\alpha ^2}=\dst\frac{1}{(1+\alpha )(1-\alpha )}=\dst\frac{A}{(1+\alpha)}+\dst\frac{B}{(1-\alpha)}=\dst\frac{A(1-\alpha )+B(1+\alpha )}{(1+\alpha )(1-\alpha )}$

Si $x=1$ y $x=-1$ podemos conocer respectivamente los valores de A y de B, que coinciden, quedando la integral:

$\dst\int\dst\frac{1}{1-\alpha ^2}d\alpha=\dst\int\left[\dst\frac{\dst\frac{1}{2}}{\alpha +1}-\dst\frac{\dst\frac{1}{2}}{\alpha -1}\right]d\alpha$

$\dst\int\dst\frac{1}{1-\alpha ^2}d\alpha= \dst\frac{1}{2}\dst\int\dst\frac{1}{\alpha +1}-\dst\frac{1}{2}\dst\int\dst\frac{1}{\alpha -1}=\dst\frac{1}{2}\left[\ln|\alpha +1|-\ln|\alpha -1|\right]+ C=\dst\frac{1}{2}\ln\left|\dst\frac{\sin(x)+1}{\sin(x)-1}\right|$

Por tanto, lo podemos escribir del siguiente modo:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] $=\ln\left|\dst\frac{\sin(x)+1}{\cos(x)}\right|=\ln|\tan(x)+sec(x)|$

Por tanto, la integral que queríamos calcular desde el principio será:

$I=\dst\frac{\tan(x)sec(x)+\dst\int sec(x)dx}{2}=\dst\frac{\tan(x)sec(x)+\ln|\tan(x)+sec(x)|}{2}$

$\boxed{I=\dst\int \dst\frac{1}{\cos^3(x)}=\dst\int sec^3(x)=\dst\frac{1}{2}\tan(x)sec(x)+\dst\frac{1}{2}\ln|\tan(x)+sec(x)|+C}$

Y eso es todo, ahora, mientras escribía, he visto que podría haber seguido un método parecido para calcular la integral que te piden utilizando el que usé para calcular la integral de secante de x, pero eso ya te lo dejo a ti si quieres. Como ves, es muy largo y pesado de hacer, tanto como pasarlo a LaTeX

Saludos!