1r ciclo Poder adquisitivo.

[_OJ_287_]

Hola muy buenas. Bueno este ejercicio es de economia pero me sale en el libro de calculo a si que lo voy a exponer aqui:
Si el poder adquisitivo del dolar decrece con una velocidad efectiva del 9% anual, ¿cuanto tiempo hara falta para que se reduzca 0,25 dolares?
Gracias de antemano. Un saludo.

[skinner]

Re: Poder adquisitivo.

Hola alelanda. Yo he procedido así, pero si me he equivocado que alguien me lo haga saber.

Nos dicen que el poder efectivo del dólar disminuye a un ritmo de un 9% (=0.09) cada año. Llamando "p(t)" al poder adquisitivo del dólar en el instante t, esta afirmación se puede expresar así:

$$\frac{\mathrm{d}p }{\mathrm{d}t } =-0.09$$

Si integramos, podemos obtener el poder efectivo del dólar en cada instante t (en años), donde "p0" es el poder efectivo del dólar en el instante t=0 (actualmente) cuyo valor desconocemos:

$$p(t)=p_0-0.09t$$

Nos piden calcular el instante de tiempo t* para el que el poder efectivo del dólar ha disminuido en 0.25 dólares. Dicho de otra manera, tenemos que encontrar una solución a la ecuación:

$$p(t^*)=p_0-0.25$$

Recordamos la ecuación (2) y sustituimos, para luego resolver:

$$p(t^*)=p_0-0.25\Leftrightarrow p_0-0.09t^*=p_0-0.25\Rightarrow \boxed{t^*=\frac{0.25}{0.09}\approx 2.78} \text{ anhos}$$

Un saludo!

PD: Incluyo una pequeña gráfica de p(t).

[skinner]

Re: Poder adquisitivo.

Por cierto, en economía también puedes ver el desarrollo con la función "crecimiento anual", g. Búsca información en internet, aunque supongo que ya la habrás visto.

[Al2000]

Re: Poder adquisitivo.

En realidad, al poner 9% lo que se está indicando es una fracción del valor actual, de modo que tu ecuación debería ser $\dst \frac {dp}{dt} = -0,09 p$...

Saludos,

Al

[_OJ_287_]

Re: Poder adquisitivo.

Gracias a todos. Skinner,gracias por la amplia respuesta pero es erronea (no me preguntes porque jaja), el libro me da la solucion y es 14 con algo años (no recuerdo justo).El ejercicio esta dentro del tema de crecimiento y decrecimiento de funciones exponenciales, entonces digo yo que la velocidad de decrecimiento debera ser proporcional a la cantidad de dinero:
...........dy/dt=ky
Ademas:y(0)=y0 .
Por lo tanto el problema de valor inicial tiene como solucion unica: y=y0*e^kt
creo que habra que tirar por ahi, pero claro sin saber el valor inicial ni idea...
Un saludo!

[Al2000]

Re: Poder adquisitivo.

Es raro, a mi me da 15.4 años.

Saludos,

Al

[_OJ_287_]

Re: Poder adquisitivo.

Saludos Al! Pues el resultado justo es 14.7 años. He estado pensando y igual hay que usar la tasa de interes nominal:
A(1+r/100n)^n. Porque la velocidad efectiva es de computo anual y la formula exponencial es de computo continuo no? mmm ni idea.
Un saludo!

[Al2000]

Re: Poder adquisitivo.

Eso es correcto. Si haces la depreciación en forma discreta tendrías $\dst p_0(1+r)^n = p_f$, con $r = -0.09$ y $p_f = 0.25 p_0$. Al despejar $n$ se obtiene 14.6992.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Poder adquisitivo.

Una preguntita, ¿dónde me he equivocado? ¿Donde me dijiste en tu primer mensaje, Al?

Saludos!

[skinner]

Re: Poder adquisitivo.

Ah, ¿y la ecuación $dp=-0.09p\cdot dt$ es una EDO? A ver si empezamos ya a estudiarlas y aprendo a resolver este tipo de problemas...

Saludos y gracias.

[Al2000]

Re: Poder adquisitivo.

Si, parecida a la que escribiste pero con una variación exponencial en lugar de lineal. Resolverla es trivial, simplemente pasa $p$ al miembro izquierdo, dividiendo el $dp$ e integra miembro a miembro. Llegas a la solución $p = p_0 \ee ^{-0.09 t}$.

Ese tipo de ecuación aparece cada vez que la rapidez con la cual cambia una variable depende del valor de la variable. Ejemplos serían el decaimiento radiactivo, el crecimiento (sin limitantes) de poblaciones biológicas, etc.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Poder adquisitivo.

Muchas gracias. Es una vergüenza, a punto de pasar a 2º ciclo de ingeniería y todavía equivocándome en cosas tan poco enrevesadas (no digo fáciles ni triviales, porque no hay nada trivial).

Saludos y gracias.

[_OJ_287_]

Re: Poder adquisitivo.

Gracias a los dos. Gracias por la solucion Al
2000
Un saludo!