1r ciclo Resolver IIntegral

[skinner]

Buenas. Tengo una integral que no sabría resolver (o me llevaría mucho tiempo). Es ésta:

$$\int_{-\sqrt(3)}^{\sqrt(3)} \frac{t^3dt}{\sqrt{4+t^2}}$$

He probado el cambio t=2tan(w).

Saludos y muchas gracias

[Al2000]

Re: Resolver IIntegral

Prueba el cambio $u^2 = 4 + t^2$, aunque sin resolverla se puede decir que es cero (integrando impar y límites simétricos).

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Resolver IIntegral

Antes de nada muchas gracias por tu respuesta. ¿Podrías profundizar más en tu afirmación? ¿Era "trivial" que la solución es cero? ¿Qué significa que el integrando sea impar? Lo de límites simétricos me lo imagino: que ambos están a la misma distancia de 0.

¿Existe algún otro caso, además del caso de "integrando impar" + "límites simétricos" que sugieran que la integral valga cero?

Muchas gracias y saludos

[Al2000]

Re: Resolver IIntegral

Como se que ya viste el concepto de área bajo una curva entonces se que captarás facilmente que si la función que estás integrando es impar, es decir es antisimética $f(-x) = -f(x)$ y estás integrando entre límites simétricos, entonces la integral será cero pues las áreas de la parte positiva y negativa son iguales en magnitud pero de signos opuestos. Como ejemplo, la función $\mathrm {sen} \, x$ dará cero si integras entre $-\alpha$ y $+\alpha$. Por otra parte, si la función es par, es decir es simétrica $f(-x) = f(x)$, entonces sabes que la integral en la región negativa será idéntica a la integral en la región positiva. Como ejemplo, la función $\cos x$, para la cual si integras entre $-\alpha$ y $+\alpha$ el resultado será el doble de la integral entre cero y $+\alpha$.

Ya a uno se le hace costumbre cuando se enfrenta a una integral definida entre límites simétricos mirar si el integrando es impar o no, con la esperanza de ahorrarse el trabajo

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Resolver IIntegral

Muy útil tu observación. Gracias

Saludos.

[skinner]

Re: Resolver IIntegral

Ah, y otra cosita que no tiene que ver con la integral: estos cálculos ya los hace un ordenador, entonces, ¿por qué, de forma alguna, nos machacan con integrales tan feas? Comprendo que para construir un avión primero tienes que estudiar lo que son las integrales y haber hecho muchas, pero una vez llegado un punto: ¿por qué seguir resolviéndolas?

Una respuesta posible para mí (tan posible como válida): por diversión (no sé a vosotros pero yo le encuentro bastante encanto a resolver integrales), y por ejercitar la mente. Ah, y para que no se te olviden los fundamentos matemáticos (bueno, al menos los básicos).

Y otra cosa: ¿de qué forma se puede evitar el hecho de que se olviden las matemáticas un pelín más avanzadas, como aquellas del teorema de la divergencia o de stokes, una vez tienes un trabajo estable?

Saludos! Espero respuestas.

[Al2000]

Re: Resolver IIntegral

Yo quiero creer que las habilidades que se obtienen al resolver problemas básicos, que probablemente no resolvamos mas adelante, es lo importante que queda de nuestra educación. Como decía el filósofo o el poeta, ¿quién sabe?, que lo importante no es la meta sino el camino. ¿Que se te olviden las cosas que aprendiste y después no usaste? Creo que eso es inevitable. Una vez que entres en lo cotidiano de la vida, abraces una rutina, te ocuparás de lo tuyo y no malgastarás tu tiempo en cosas que no necesitas y eventualmente las olvidarás. Pero es como el dicho de que nunca se olvida cómo andar en bicicleta. El día que lo necesites, si llega, un repaso y te pondrás de nuevo en el camino.

Yo tengo en mi computador trabajos hechos en mis tiempos cuando cursaba posgrado; trabajos de cuántica, física moderna, relatividad. Hoy los miro y me parece que están escritos en chino y me maravillo de que no recuerde absolutamente nada de eso. ¿Debería angustiarme por eso? En una gaveta de mi escritorio tengo mi vieja regla de cálculo Faber-Castell... ¿cómo se usa? jejeje

Saludos,

Al