1r ciclo el rango de una función.

[javier m]

necesito hallar el rango (recorrido, imagen..) de esta función

$f(x)=\dfrac{4x^2+3}{\sqrt{x^2+2x-8}}$

bueno, para hallar el rango primero hay que despejar $x$, y ahí es donde está mi problema

yo hago esto

$y=\dfrac{4x^2+3}{\sqrt{x^2+2x-8}}$

$y\dst\sqrt{x^2+2x-8}=4x^2+3$

elevo al cuadrado

$y^2(x^2+2x-8)=(4x^2+3)^2$

$x^2y^2+2xy^2-8y^2=16x^4+24x^2+9$

todo a la izquierda

$x^2y^2+2xy^2-8y^2-16x^4-24x^2-9=0$

reorganizo

$-16x^4+(y^2-24)x^2+2xy^2-8y^2-9=0$

y ya, me quedé en esa bonita ecuación, no tengo la menor idea de como despejar $x$ y por lo tanto no doy para sacar el rango de la función.

plis....

[Al2000]

Re: el rango de una función.

Pues determínalo analizando el rango del numerador y denominador por separado. Fíjate que el numerador por si solo podrá tomar cualquier valor mayor o igual a 3, para un dominio de $x$ que abarca todos los reales. El denominador no está definido (en los reales) para los valores de $x$ entre -4 y 2, intervalo que queda excluído del dominio de la función. Entonces ahora analiza los valores que puede tomar el cociente. Por cierto, fíjate que el numerador crece mas rápido que el denominador, de modo que cuando $x$ tiende a los extremos mas o menos infinito, la fracción tenderá a infinito. Básicamente lo que tienes que determinar es cuanto es el mínimo valor que puede obtener la fracción.

Saludos,

Al