1r ciclo Modificar expresion algebraicamente

[skinner]

Buenas. Estoy volviéndome loco con una expresión que no consigo simplificar. Es una expresión de cálculo de aviones. Nos relaciona el alcance de un avión con las demás variables del problema, y la expresión es como sigue:

$$x_{A}=\frac{1}{c_{E}}E\cdot 2\sqrt{2}\cdot \frac{{C_{L}}^{1/2}}{C_D}\sqrt{\frac{W_{S}}{\rho S}}\left( \sqrt{1+\frac{W_F}{W_S}}-1 \right)$$

Ahora, analizando el problema de maximizar el alcance, nos encontramos con que debe ser:

$\dst C_{L}=\frac{C_{L_{opt}}}{\sqrt{3}}$, con $\dst E_{max}=\frac{1}{2\sqrt{k\cdot C_{D_0}}}=\frac{1}{2k\cdot C_{L_{opt}}}$

Ahora, de alguna forma u otra, tengo que arreglármelas para que, modificando la expresión (1) y teniendo en cuenta las otras dos ecuaciones, obtenga la expresión simplificada del alcance máximo:

$$x_{A_{max}}=3^{3/4}\cdot \frac{1}{c_{E}}E_{max}\sqrt{\frac{2W_{S}}{\rho S C_{L_{opt}}}}\left( \sqrt{1+\frac{W_F}{W_S}}-1 \right)$$

A ver si tengo suerte y alguien amigable se molesta en ayudarme con las cuentas. Yo de momento no he conseguido hacerlo (y lo más seguro es que sea una tontería).

Si a alguien le interesa saber qué representan las variables descritas por las ecuaciones no tiene más que preguntar.

Muchas gracias y un saludo!

[neometalero]

Re: Modificar expresion algebraicamente

Antes de intentar ayudarte, resuelveme algunas dudas:
Cuando hablas del alcance máximo, que diferencia tiene con el alcance? cuando es maximo? hallas alguna derivada de (1)? Respecto a que derivas?
En la expersión (1) aparece ${C}_{D }$ pero en la relacion con la ${E}_{max }$, no aparece eso si no ${C}_{D0 }$, son lo mismo?

[neometalero]

Re: Modificar expresion algebraicamente

Quizás te ayude ese link:http://ocw.mit.edu/ans7870/16/16.uni...ropulsion4.htm
El punto D en concreto

[skinner]

Re: Modificar expresion algebraicamente

Hola neometalero.

El alcance de un avión es la distancia horizontal que es capaz de recorrer. Las aerolíneas tratan de maximizar este alcance dadas las variables que caracterizan a su avión, dando paso al alcance máximo. A veces también interesa maximizar el tiempo de vuelo en lugar del alcance máximo, pero esto se hace contadas veces (con fines lúdicos o bélicos).

A partir de la expresión (1), el alcance máximo puede obtenerse maximizando el cociente $\dst \frac{{C_{L}}^{1/2}}{C_D}$, ya que las demás variables no son manejables (excepto el peso del combustible, por sus siglas en inglés $W_{F}$, pero a simple vista: máximo combustible posible --> mayor alcance; no del todo cierto, pero válido como primera aproximación).

Derivando respecto a $C_{L}$ la expresión $\frac{{C_{L}}^{1/2}}{C_D}$ e igualándola a cero, obtenemos una de las fórmulas que puse en el primer post:

$$C_{L}=\frac{C_{L_{opt}}}{\sqrt{3}}$$

La tercera expresión de mi primer post aparece naturalmente; $\dst E_{max}$ es la eficiencia máxima del avión, y nos informa sobre cómo debe ser el coeficiente de sustentación ($C_{L}$) de vuelo para obtener una mínima resistencia con el aire. La eficiencia aerodinámica es el cociente entre la sustentación del avión y la resistencia ejercida por el aire sobre el mismo como consecuencia de su movimiento:

$\dst E=\frac{L}{D}=\frac{C_{L}}{C_{D}}$

$\dst C_{D}$ es el coeficiente de resistencia con el aire; está relacionado con $\dst C_L$ de una forma u otra dependiendo del avión. En una primera aproximación se puede afirmar que el avión tiene una polar parabólica de coeficientes constantes:

$\dst C_{D}=C_{D_{0}}+k\cdot {C_{L}}^{2}$

(ésta es la diferencia entre $\dst C_D$ y $C_{D_{0}}$)

-- o --

Miré el link que propusiste; está superinteresante y cuando tenga un poquito más de tiempo y de nivel profundizaré en él; de momento, sin embargo, no ha conseguido resolver mi duda

Sigue siendo: ¿cómo modificar la expresión (1) de mi primer post de forma que pueda llegar a la expresión (2) de dicho post?

Muchísimas gracias por vuestra atención. Si sigues teniendo alguna duda, avísame.

Saludos!

[neometalero]

Re: Modificar expresion algebraicamente

No si yo me he leido el post y eso que me cuentas lo dice ahí, mi duda era saber que hacías porque en el link que te mando está hecho ( en parte ) pero utiliza otra notación.
Yo es que sigo sin saber de donde sale esa raiz cuarta de 27 la verdad...

[skinner]

Re: Modificar expresion algebraicamente

La raíz cuarta de 27 surge como producto de la modificación de la expresión (1) junto con las otras dos ecuaciones. Yo tampoco sé de dónde surge, y por eso pregunto.

[skinner]

Re: Modificar expresion algebraicamente

Por cierto, en ese post habla de otras cosas y lo hace de manera bastante diferente; habla de potencia, y otras cosas que yo aún no he llegado a estudiar. Digamos que es más avanzado.

Saludos

[neometalero]

Re: Modificar expresion algebraicamente

Se de donde sale esa raiz , estoy con ello y he avanzado bastante, pero esa Emax si que no la veo, porque implica esa k, que no aparece en ningún otro sitio...sale de la nada

[neometalero]

Re: Modificar expresion algebraicamente

Puedes hacer otra cosa, coge la expresión inicial y final, igualalas y cancela términos que tienes a ambos lados. Haciendo eso, queda que:

$$\frac{2E\sqrt{{C}_{L } } }{{C}_{ D} }=\frac{{3}^{3/4 }{E}_{ Max} }{ \sqrt{{C}_{ Le} } }$$

A partir de ahí, a manipular para hallar cual es la relación a tener en cuenta que se nos escapa.

[sfn]

Re: Modificar expresion algebraicamente

Buf esto lo vi el año pasado y ya no me acuerdo de nada...
Partiendo de la expresión que has puesto,las relaciones de eficiencia aerodinámica máxima y coeficiente de sustentación óptimoy la polar del avión creo que he llegado bien al final.

He empezado sacando la relación entre $C_{L_{opt}}$ y $C_{D}$ de la ecuación de la eficiencia. Me queda

$4K\frac{(C_{L_{opt}})^2}{3}=C_{D}$

Despejo el valor de K en función del coeficiente de sustentación óptimo y la eficiencia máxima

$k=\frac{1}{2E_{max}C_{L_{opt}}}$

E introduciendo todo en la expresión inicial, sale la expresión del máximo alcance