1r ciclo integral de superficie

[kyubirr]

hola tengo una duda con las integrales de superficie que no consigo aclararme
cuando me piden la integral de supeficie de un campo vectorial o sea el flujo
yo parametrizo la superficie sobre la que integro y pero luego a poner los limites de integracion a veces me dicen que usen la proyeccion de la restriccion y otras la superficie a secas si proyectar ni nada
me explicare mejor con un ejemplo
me piden la integral de superficie del campo $F=(2,2,2)$ sobre la superficie de un cilindro ${x}^{2 }+{y}^{ 2}={a}^{ 2}$ y la interseccion con el plano $\frac{x}{a }+\frac{y}{ b}=1$ con a,b constante positivas
el resultado es 2*pi*a*(a+b)
pero a mi solo me sale esto si considero que la interseccion es una elipse y si considero la proyeccion al ser una esfera no me sale lo que deberia

creo que estoy mezclando conceptos no??
muchas gracias por vuestra ayuda