1r ciclo 2Ecuacion diferencial Lineal

[skinner]

Buenas. Estoy tratando de resolver la ecuación diferencial siguiente:

$$y'+\frac{y}{x}=3x$$

Puedo afirmar que pertenece a una ecuación diferencial lineal de primer orden puesto que tiene la forma: $\dst y'+P(x)y=Q(x)$

Llegados a este punto, y antes de ponerme a resolver la ecuación, descubrí que puedo hacer el cambio u=x^2, v=y. De esta forma obtengo una ecuación homogénea que se resuelve fácilmente. De hecho, aplicando este criterio, mi resultado es:

$$\boxed{x^2=\frac{-1}{(1-\frac{y}{x^2})^{-2/3}}}$$

Pero no sé si este razonamiento es válido, como solución alternativa a la resolución de una ecuación diferencial lineal de primer orden.

Sea como sea, si intento aplicar el razonamiento propio a la resolución de tal tipo de ecuaciones, llego a lo siguiente:

Solución general de la ED homogénea asociada ($y_{h}$):

$$y_{h}=\frac{1}{cx}$$

Solución particular de la ED

Procedo por el método de variación de constante, llegando a:

$\dst y_{p}(x)=\frac{1}{xc(x)}\Rightarrow y'(x)=\frac{xc(x)-c(x)-xc'(x)}{x^2 c(x)^2}$

Pero de esta forma llego a la ecuación tan rara: $\dst c(x)-3x^3c(x)^2=xc'(x)$

Y por tanto no puedo proceder al cálculo de c(x)...

¿Es aquí donde tengo que aplicar mi hábil cambio de variables $u=x^2$, $v=y(x)$?

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Gracias por haberme dedicado algo de tu tiempo.

Un saludo

[carmelo]

Re: 2Ecuacion diferencial Lineal

Hola:

Bueno, si querés hacer un cambio de variable mas adecuado sería:

$$u=xy\Rightarrow u^\prime=xy^\prime+y$$

Sustituyendo en la ecuación diferencial se tiene:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Con lo que despejando obtenemos la solución:

$$y=x^2+ \dst\frac{ \text{C}} x$$

Saludos
Carmelo

[skinner]

Re: 2Ecuacion diferencial Lineal

Hola Carmelo. ¿Por qué es esa más correcta, y cómo puedo detectar cuáles son mejores cambios que cualquier otro?

¿Implica esto que mi solución es errónea?

Saludos y gracias por tu tiempo.