1r ciclo Serie de Fourier e Identidad de Parseval

[Becquerel]

Hola!

Tengo una duda en cuanto a la identidad de Parseval y su uso para encontrar la suma de una serie. Mi duda es que no sé qué límites de integración ni prefactores usar para encontrar la Serie de Fourier.

Os pongo un ejemplo: se me pide calcular la suma de la serie $\sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n^4 }$ usando la función $f(x) = x(\pi - x)$ entre $[0, \pi]$

¿Cómo debo aplicar la identidad de Parseval? ¿Me podríais indicar cómo son los límites de las integrales que debo usar?

Muchísimas gracias,

Un saludo

[arreldepi]

Re: Serie de Fourier e Identidad de Parseval

Hola!

No estoy muy seguro así que mejor espera a ver si alguien lo confirma, ok?

La identidad de Parseval dice que

$$\frac 1L\int\limits_{x_0}^{x_0+L}|f(x)|^2\dd x = \left(\frac {a_0}{2}\right)^2 +\frac 12 \sum_{n=1}^\infty (a_n^2+b_n^2)$$

Entonces, el intervalo en este caso es $[0,\pi]$ i, por tanto, $L=\pi$, así que, si tomamos $x_0=0$

$$\frac 1L\int_{x_0}^{x_0+L}|f(x)|^2\dd x = \frac 1\pi \int\limits_{0}^\pi [x(\pi-x)]^2\dd x =\frac{\pi^4}{30}$$

Luego tendrás que hacer el desarrollo en serie de la función y elevar al cuadrado los términos y tal. Lo que me hace dudar es que te pida el desarrollo des de n=0 y no des de n=1, ya que supongo que cuando hagas la serie el coef. n^4 lo tendrás allí. Pero no estoy muy seguro xD.

Espero haber ayudado en algo.
Saludos!

[Becquerel]

Re: Serie de Fourier e Identidad de Parseval

Es n = 1, esque me despisté al poner el subíndice.

Yo lo hacía así, pero en la corrección no me salía el mismo resultado.

Muchas gracias!

[arreldepi]

Re: Serie de Fourier e Identidad de Parseval

Hola, el resultado es

$$\frac{\pi^4}{90}$$

Saludos!

[Becquerel]

Re: Serie de Fourier e Identidad de Parseval

Por cierto, ¿qué expresiones usas tú para calcular $a_n$ y $b_n$?

Saludos

[arreldepi]

Re: Serie de Fourier e Identidad de Parseval

Hola, suponiendo el período $L$:

$$a_n = \frac 2L\int\limits_{x_0}^{x_0+L}f(x)\cos\frac{2\pi n x}{L}\dd x \qquad\qquad b_n = \frac 2L\int\limits_{x_0}^{x_0+L}f(x)\sin\frac{2\pi n x}{L}\dd x \qquad\qquad$$