Secundaria Límites y asíntotas obícuas

[angel relativamente]

Hola amigos. En clase de matemáticas (1º Bach) estamos analizando las asíntotas de determinadas funciones. Pero me he atascado un poco en las asíntotas oblícuas. El libro dice que una función $\dst f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ tiene asíntotas obícuas si $grado\; de\; P(x) = grado\; de\; Q(x) +1$.

$$\dst \frac{P(x)}{Q(x)}=mx+n+\frac{R(x)}{Q(x)}$$

siendo R(x) el resto.
La recta y=mx+n es la asíntota oblícua de la función. Esto creo entenderlo, pero ahora os pongo los apuntes que dictó la profesora:

Para calcular la pendiente m de la asíntota oblícua hacemos:

$$m=\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$$

Y para calcular la ordenada en el origen de dicha recta:

$$n=\lim_{x \to \pm\infty} [f(x)-mx]$$

¿Alguien me explica de donde se ha sacado esto?
Muchísimas gracias.
¡Un saludo!

[angel relativamente]

Re: Límites y asíntotas obícuas

Investigando por ahí he encontrado esto .
Eso me pasa por buscar después de escribir. Creo que he entendido bastante bien lo que dice el otro hilo. Tema cerrado salvo que alguien quiera hacer un aporte extra, que será bienvenido

[Pepealej]

Re: Límites y asíntotas obícuas

Fíjate en esto Ángel, es un post que escribí yo mismo hace unos días en rinconmatematico.com. Le expliqué a un usuario que eran y como se hayaban las asíntotas oblicuas en una función de las dos formas que tu has puesto (división de polinomios y límites). Me parece que podrá ayudarte si quieres:

http://rinconmatematico.com/foros/in...html#msg184526

Espero que te sirva. Saludos

[xXminombreXx]

Re: Límites y asíntotas obícuas

Todo esto se basa en que si nos vamos al infinito se cortan la función y la asíntota.

La m de la asíntota es la pendiente, o lo que es lo mismo:

$\frac{y}{x}$

Luego si tenemos que al aproximrsa al infinito ambas coincides, la y de la recta será igual a la y de la función. y la y de la función es la f(x). Si sustituimos, tenemos que

$$m = \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$$

Para hallar la n de la asíntota, lo mismo.

y= mx +n; n = y-mx;

Como y en el inifinito es f(x): $n = \lim_{x \to \infty} f(x) - mx$

Y esas son las fórmulas que tú tienes.

[angel relativamente]

Re: Límites y asíntotas obícuas

Muchas gracias a ambos
Ahora lo entiendo bastante mejor. Pero en tu ejemplo, pepealej, me surge una duda. En la función:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] La pendiente de la recta oblícua sería:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Para valores grandes de x (tanto positivos como negativos), restarle 1 no modífica para nada el resultado, por tanto:

$$\dst m=\lim_{x \to \pm\infty} \dst\frac{x^2}{x\sqrt{x^2-1}}=\lim_{x \to \pm\infty} \dst\frac{x^2}{x\sqrt{x^2}}=\lim_{x \to \pm\infty} \dst\frac{x^2}{x^2}=1$$

Sin embargo a tí te salen dos pendientes (dos rectas oblícuas), pendiente 1 y pendiente -1. ¿Dónde está mi error?
Puede que me haya precipitado al hacer $\dst \sqrt{x^2}=x$ , pues me he comido la solución -x y de ahí que solo me salga una asíntota. Pero un día mi profesora me dijo: Raices en funciones siempre suponemos la solución positiva salvo que se diga lo contrario.


Por otro lado, otra de las preguntas que me suelen hacer es: sitúa la curva respecto a sus asíntotas. Supongamos la función:

$$\dst f(x)=\frac{x^2-5x+7}{x-2}$$

Tras hacer el cálculo, sale que tiene una asíntota vertical en x=2 y yna asíntota oblícua y=x-3. Para situar la curva respecto a la asíntota vertical es sencillo, veo a donde tiende la imagen cuando x tiende a 2 por la izquierda y por la derecha, y me sale menos infinito y más infinito respectivamente. Pero en el caso de la oblícua, no entiendo muy bien lo que dices, te copio:

Por último, para saber si la función se acerca a la asíntota oblícua por encima o por debajo sólo tienes que probar con un valor alto en la función y en la recta , por ejemplo 100, y ver que cual de los dos valores te sale mayor, y así saber por donde se acerca la función (si no lo sabes ya con la monotonía y/o curvatura).

Pruebo a darle el valor 100 en la función y en la recta:
$f(x)\approx 97.01$
y= 97

Sale mayor en la función, por tanto con valores altos la recta oblícua estará por debajo de la curva. Supongo que tendría que probar ahora con valores bajos (-100) para ver que pasa cuando tiende a $-\infty$

$f(x)\approx -103.01$
y=-103
La curva estará situada por debajo de la recta.

Bueno, por si no te has dado cuenta me he ido respondiendo yo solito conforme iba escribiendo, asíque esta última duda ya está resuelta, pero me daba pena borrarlo

¡Muchas gracias de nuevo!

[arreldepi]

Re: Límites y asíntotas obícuas

Hola!

En el primero fíjate que cuando haces $\frac {x^2}{ x}$ te queda negativo (ya que el numerador es positivo y el denominador negativo) así que tendrías que escribirlo como

$$\frac{x^2}{x}=-|x|$$

.

Saludos!

[angel relativamente]

Re: Límites y asíntotas obícuas

Hola arreldepi. No se donde dices, en ningún momento hago $\dst \frac{x^2}{x}$

[arreldepi]

Re: Límites y asíntotas obícuas

Hola, sorry, no había mirado cómo lo habías hecho :P

Tú haces:

$$\dst m=\lim_{x \to \pm\infty} \dst\frac{x^2}{x\sqrt{x^2-1}}=\lim_{x \to \pm\infty} \dst\frac{x^2}{x\sqrt{x^2}}=\lim_{x \to \pm\infty} \dst\frac{x^2}{x^2}=1$$

El error está en que, cuando vamos a $-\infty$

$$\lim_{x \to -\infty} \dst\frac{x^2}{x\sqrt{x^2}}\neq\lim_{x \to -\infty} \dst\frac{x^2}{x^2}$$

ya que, como te decía, $x=-|x|$ porque estamos yendo a $-\infty$. Con lo cual

$$\lim_{x \to -\infty} \dst\frac{x^2}{x\sqrt{x^2}}=-\lim_{x \to -\infty} \dst\frac{x^2}{x^2}=-1$$

Es decir, tienes que distinguir el caso $x\to\infty$ del caso $x\to-\infty$

Saludos!

[Al2000]

Re: Límites y asíntotas obícuas

$\dst m=\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x\sqrt{x^2-1}}= \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x\sqrt{x^2}}= \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x |x|}= \frac {|x|} x = \pm 1$

Saludos,

Al