Secundaria Integral

[volfreeme]

Buenos días, me encuentro recién terminado 2º de bachillerato y selectividad, aún no sé a que carrera entraré (alguna ingeniería o física), y me gustaría saber resolver la siguiente integral:
\int (x-2) / (x^2)(x-3)^2 dx

se que es muy sencilla, pero no se como se hace... si alguien fuera tan amable de explicármela paso a paso es taría muy agradecido.
Saludos.

[Becquerel]

Re: Integral

Podrías probar a separarla en fracciones simples.

¿Sabes cómo se hace eso?

[Cat_in_a_box]

Re: Integral

Hola volfreeme,

Efectivamente, como te ha dicho Becquerel, esta integral se resuelve dividiéndola en fracciones simples. Si tienes alguna duda, y dado que ahora tengo bastante tiempo libre, te expongo el proceso algo más detenidamente a ver si así sabes hacerla, que ya verás cómo sí.

Estaría bien que utilizases LaTeX de modo que la lectura sea más sencilla. Si tienes alguna duda puedes buscar en el foro cómo insertar las ecuaciones en tus mensajes utilizando LaTeX. Bueno, por lo que veo tú quieres calcular:

$\dst\int \dst\frac{x-2}{x^2(x-3)^2}dx$

Lo bueno es que ya tienes descompuesto el denominador, pues lo normal es que te den el polinomio tal cual y tengas tú que encontrar los ceros. Pero bueno, este no es el caso; por tanto, antes de resolver la integral, vamos a centrarnos en la fracción como tal, es decir, olvídate por ahora de la integral. Tenemos que:

$\dst\frac{x-2}{x^2(x-3)^2}$

Pues bien, esto lo puedes descomponer del siguiente modo:

$\dst\frac{x-2}{x^2(x-3)^2}=\dst\frac{A}{x}+\dst\frac{B}{x^2}+\dst\frac{C}{x-3}+\dst\frac{D}{(x-3)^2}$

ahora sólo tienes que sacar mínimo común múltiplo y nada, como si sumaras una fracción cualquiera:

$\dst\frac{x-2}{x^2(x-3)^2}=\dst\frac{A}{x}+\dst\frac{B}{x^2}+\dst\frac{C}{x-3}+\dst\frac{D}{(x-3)^2}=\dst\frac{Ax(x-3)^2+B(x-3)^2+Cx^2(x-3)+Dx^2}{x^2(x-3)^2}$

Podemos calcular los parámetros A,B,C y D dando valores a la x. Además, como es una igualdad sólo nos fijaremos en el numerador, ya que el denominador es el mismo. Por tanto: (ojo,da valores sencillos y busca que se hagan cero algunos términos)

-Si $x=3$

$9D=1\Rightarrow \boxed{D=\dst\frac{1}{9}}$

-Si $x=0$

$9B=-2 \Rightarrow \boxed{B=-\dst\frac{2}{9}}$

- Si $x=1$

$4A-2C=-\dst\frac{2}{9}$

-Si $x=2$

$2A-4C=-\dst\frac{2}{9}$

Revisa los cálculos por si me he equivocado al sustituir valores (en los dos últimos casos ya he sustituido los valores hallados de D y B). Pues bien, resolvemos el sistema con esas dos últimas ecuaciones:

$\left.<br /> \begin{matrix}<br /> 4A-2C & = - \dst\frac{2}{9} \\<br /> 2A-4C & = \dst\frac{2}{9}<br /> \end{matrix}<br /> \right\}$

Si resuelves el sistema, llegarás a los siguientes valores de A y de C (te pongo ya todos los valores para resumir):

$\boxed{A=-\dst\frac{1}{27},\quad B=-\dst\frac{2}{9},\quad C=\dst\frac{1}{27},\quad D=\dst\frac{1}{9}}$

Pues nada, ya puedes sustituir en la integral que querías calcular, quedándote:

$\dst\int \dst\frac{x-2}{x^2(x-3)^2}dx=\dst\int \left(\dst\frac{-\dst\frac{1}{27}}{x}+\dst\frac{-\dst\frac{2}{9}}{x^2}+\dst\frac{\dst\frac{1}{27}}{x-3}+\dst\frac{\dst\frac{1}{9}}{(x-3)^2}\right)dx$

Ya sacado las constantes, te quedan integrales muy sencillitas que son inmediatas:

$\dst\int \dst\frac{x-2}{x^2(x-3)^2}dx=-\dst\frac{1}{27}\dst\int \dst\frac{1}{x}dx -\dst\frac{2}{9}\dst\int\dst\frac{1}{x^2}dx+\dst\frac{1}{27}\dst\int\dst\frac{1}{x-3}dx+\dst\frac{1}{9}\dst\int\dst\frac{1}{(x-3)^2}dx$

Por tanto:

$\boxed{\dst\int\dst\frac{x-2}{x^2(x-3)^2}dx=-\dst\frac{1}{27}\ln|x|+\dst\frac{2}{9x}+\dst\frac{1}{27}\ln|x-3|-\dst\frac{1}{9(x-3)}}$

Saludos,