1r ciclo Integral triple de una función

[kuvala]

Hola Buenas :

Estoy desesperado con la siguiente integral triple:

$\iiint z\sqrt{{x}^{ 2}+{y}^{2 } }$ en el recinto

V= ${z}^{2 }\geqslant {(x-1)}^{2 }+{y}^{2 }$ , ${x}^{2 } +{y}^{2 }+{z}^{ 2}\leqslant 1$ en el primer cuadrante, es decir, x,y,z son todos mayores o iguales que cero.

Yo lo he planteado de la siguiente manera:
Como la proyección de la intersección de las dos superficies sobre el plano XY es una circunferencia de radio 1/2 y con centro en x=1/2, para después utilizar en la integral coordenadas cilíndricas, he parametrizado como $x=r\cos(\theta )+\frac{1}{2 } , y=r\sin$. El ángulo $\theta \in \left[0, \pi \right]$ y r va de la siguiente forma $0\leqslant r\leqslant \frac{1}{2 }$. Por último z, $\sqrt{{(x-1)}^{ 2}+{y}^{ 2} }\leqslant z\leqslant \sqrt{1-{x}^{ 2}-{y}^{2 } }$. Si integro, debería salirme $\frac{2}{75 }$ que es la solución, pero no me da.

Después cambié la parametrización de y en las coordenadas polares teniendo en cuenta la relación ${x}^{2 }+{y}^{ 2}={r}^{ 2}$, por lo que sustituyendo en x la parametrización que he dicho antes, y me quedaría $y=\sqrt{{r}^{ 2}{\sin }^{2 }-\frac{1}{4 }-r\cos }$, pero igualmente, no me sale.

Quisiera saber si estoy eligiendo bien los recintos de integración o las parametrizaciones y a ver donde fallo.

Muchas Gracias.

Un Saludo

[polonio]

Re: Integral triple de una función

Hola Buenas :

Estoy desesperado con la siguiente integral triple:

$\iiint z\sqrt{{x}^{ 2}+{y}^{2 } }$ en el recinto

V= ${z}^{2 }\geqslant {(x-1)}^{2 }+{y}^{2 }$ , ${x}^{2 } +{y}^{2 }+{z}^{ 2}\leqslant 1$ en el primer cuadrante, es decir, x,y,z son todos mayores o iguales que cero.

Yo lo he planteado de la siguiente manera:
Como la proyección de la intersección de las dos superficies sobre el plano XY es una circunferencia de radio 1/2 y con centro en x=1/2, para después utilizar en la integral coordenadas cilíndricas, he parametrizado como $x=r\cos(\theta )+\frac{1}{2 } , y=r\sin$. El ángulo $\theta \in \left[0, \pi \right]$ y r va de la siguiente forma $0\leqslant r\leqslant \frac{1}{2 }$. Por último z, $\sqrt{{(x-1)}^{ 2}+{y}^{ 2} }\leqslant z\leqslant \sqrt{1-{x}^{ 2}-{y}^{2 } }$. Si integro, debería salirme $\frac{2}{75 }$ que es la solución, pero no me da.

Pues todo esto me parece correcto (dejando las cilíndricas aprate). ¿Has hecho bien el jacobiano de la transformación?

$$\dst \iiint z\sqrt{{x}^{ 2}+{y}^{2 } }= \iint _R \left(\int _{\sqrt{{(x-1)}^{ 2}+{y}^{ 2} }}^{ \sqrt{1-{x}^{ 2}-{y}^{2 } }} z\sqrt{x^2+y^2} \dd x \dd y \right)=$$

$$=\dst \frac{1}{2}\iint _R \left({1-{x}^{ 2}-{y}^{2 }-{(x-1)}^{ 2}-{y}^{ 2} } \right)\sqrt{x^2+y^2} \dd x \dd y$$

Donde $R$ es la proyección sobre el plano $XY$. Ahora al hacer la proyección que dices (con su jacobiano: $\dd x \dd y=r\dd r \dd \theta$) debería salir bien.

[kuvala]

Re: Integral triple de una función

... ¿Has hecho bien el jacobiano de la transformación? ...

Puff, qué fallo. Había presupuesto que el jacobiano de la transformación era r, y no es así... Muchas gracias, ahora sí me sale, lo que pasa que la integral que sale es un poco cachonda, así que he probado a integrar sin desplazar el recorrido de las polares, y así sale mucho más facil.

Un Saludo

[kuvala]

Re: Integral triple de una función

... ¿Has hecho bien el jacobiano de la transformación? ...

Puff, qué fallo. Había presupuesto que el jacobiano era r, sin pararme a pensar cuál era. Además, en la raíz que multiplica a z me he equivocado al sustituir x e y en polares... Vamos, que se me ha juntado todo.

Muchas gracias.

Un Saludo