Otras carreras Limites complicados con un funciones trigonometricas y exponenciales

[GiRuKo]

Hola! No puedo calcular el valor de dos limites:


y el otro es

El problema no es cuanto dan, quiero saber si alguien me puede explicar como despejarlos.

En el primero se que la primera parte da cero, el problema es la segunda parte. Intente aproximarlo a la forma de "e" pero me complique muchisimo. Sin embargo, se que no iba por mal camino por que el resultado es e^-1.

En el caso del segundo limite, directamente no tengo idea de como despejar.. intente aplicar L'Hopital, pero no tuve un muy buen resultado... Agradeceria un poco de orientacion al respecto.

Desde ya muchas gracias!

[polonio]

Re: Limites complicados con un funciones trigonometricas y exponenciales

Para el primero, ten en cuenta que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

En el segundo te recomiento que tomes infinitésimos equivalentes (esto es, toma los primeros términos no nulos del desarrollo de MacLaurin para el seno y las exponenciales).

[Cat_in_a_box]

Re: Limites complicados con un funciones trigonometricas y exponenciales

Hola GiRuKo,

Además de lo que te ha dicho polonio, y para no complicarte buscando la forma del número e podrías hacerlo del siguiente modo, que por cierto, el resultado al que llego para el límite que tú propones es $e^{-1}$, como tú indicaste.

$A=\dst\lim_{n\to \infty}\dst \left( 1-\frac{1}{n^2} \right)^{n^2+n}$

Puedes tomar logaritmos neperianos y te queda algo ''más sencillo'', luego es obvio que tendremos que tener en cuenta que lo calculado es el logaritmo natural de lo que hemos llamado A. Por tanto:

$\ln A=\ln\left[\dst\lim_{n\to \infty}\dst \left( 1-\frac{1}{n^2} \right)^{n^2+n}\right]$

Teniendo en cuenta las propiedades de los límites, puedes escribir lo anterior de la siguiente forma:

$\ln A=\dst\lim_{n\to\infty}\left[\ln\dst \left( 1-\frac{1}{n^2} \right)^{n^2+n}\right]= \dst\lim_{n\to\infty}\left[(n^2+n)\ln\left(1-\dst\frac{1}{n^2}\right)\right]$

Por tanto, calculando lo anterior, puedes hallar el límite que quieres considerando que lo que quieres calcular realmente es:

$A=e^{\dst\lim_{n\to\infty}\left[(n^2+n)\ln\left(1-\dst\frac{1}{n^2}\right)\right]}$

Es bastante largo, he aplicado varias veces L'Hôpital porque salen muchas indeterminaciones del tipo $0\cdot\infty$ y $0/0$ pero al final llegas al resultado que tenías tú, es decir:

$A=e^{\dst\lim_{n\to\infty}\left[(n^2+n)\left(1-\dst\frac{1}{n^2}\right)\right]}=\dst\frac{1}{e}=\boxed{e^{-1}}$

Saludos,

[polonio]

Re: Limites complicados con un funciones trigonometricas y exponenciales

Sí, señor. Lo que dece Cat_in_a_box está muy bien: siempre que tengas exponenciales en los límites es muy útil trabajar con logaritmos.

[GiRuKo]

Re: Limites complicados con un funciones trigonometricas y exponenciales

Para el primero, ten en cuenta que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Eso es lo que yo intente hacer en un principio, pero me compliqué demasiado al tratar de llevarlo a la forma [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .
Trabajando un poco con las fracciones llegue a que $\dst \left( 1-\frac{1}{n^2} \right)^{n^2+n}= \dst \left( 1+\frac{1}{n^2-1} \right)^{(-1).(n^2+n)}$

Luego probe un reemplazo, $n^2-1=t$ dado que como n tiende a infinito $n^2-1$ también.

$n=\sqrt{t+1}$ --> $\dst \left( 1+\frac{1}{t} \right)^{(-1).((t+1)+\sqrt{t+1})}$

No creo que ese sea el mejor camino , además creo que no me da (lo intenté de todas formas) Si me equivoqué o es mas sencillo y no lo vi, les agradecería mucho que me lo aclararan

Voy a probar con lo que sugirió Cat_in_a_box, quizás se me haga mas sencillo aplicando logaritmos y L´Hopital.
Saludos!

[Cat_in_a_box]

Re: Limites complicados con un funciones trigonometricas y exponenciales

Hola de nuevo GiRuKo,

El método que te he expuesto antes es bastante últil, como dice polonio, pero en este caso la verdad es que se complica un poquito, ya que tienes que aplicar muchas veces L'Hôpital (parece que no llegas a ningún sitio) y hacer un cambio de variable para verlo más sencillo. Creo que combinando ambos métodos, lo que te ha mostrado polonio en su primero post, y lo que te he puesto yo, llegas a algo francamente sencillo.

Vamos a tomar pues los límites por separado, y luego ya, de acuerdo con las propiedades de los límites, multiplicamos lo obtenido, ¿de acuerdo?. Pues bien, empecemos con el primer límite:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Como ya he dicho, vamos a hacerlos por separado,tomando primero:

$A=\dst\lim_{n\to \infty}\left[\left(1-\dst\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right]\Rightarrow \ln A = \ln \dst\lim_{n\to \infty}\left[\left(1-\dst\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right]$

$\ln A=\dst\lim_{n\to \infty}\ln \left[\left(1-\dst\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right]\Rightarrow A=e^{\dst\lim_{n\to \infty}\ln \left[\left(1-\dst\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right]}$

Calculamos el límite que queda como exponente del número e teniendo en cuenta las propiedades de los logaritmos:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Vamos a hacer un cambio de variable para que sea más sencillo de ver, y por supuesto de resolver:

$\alpha =\dst\frac{1}{n}\Rightarrow \dst\lim_{n\to\infty}\left[n^2\ln\left(1-\dst\frac{1}{n^2}\right)\right]=\dst\lim_{\alpha\to 0}\dst\frac{\ln(1-\alpha^2)}{\alpha^2}=\dst\frac{0}{0}$

Aplicando L'Hôpital para resolver esta indeterminación, obtienes algo bastante manejable:

$\dst\lim_{t\to 0}\left(\dst\frac{\ln(1-\alpha^2)}{\alpha^2}\right)=\dst\lim_{\alpha\to 0}\left(\dst\frac{1}{\alpha^2-1}\right)=-1$

Ahora, como hemos hecho el cambio de variable, tenemos que:

$A=e^{\dst\lim_{n\to \infty}\ln \left[\left(1-\dst\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right]}=e^{-1}=\boxed{\dst\frac{1}{e}}$

El otro límite se hace de una manera muy similar, por no decir igual. En ese caso haces lo mismo, tomas logaritmos naturales y luego aplicas L'Hôpital haciendo un cambio de variable bastante sencillo. El resultado al que llego es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Por tanto:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Si tienes alguna duda en el otro límite, en el que sale 1, pregunta, pero como ya te he dicho es de resolución muy muy parecida.

Saludos,