1r ciclo Demostrar el limite con logaritmo

[MonsterV]

De que forma es conveniente demostrar el siguiente limite

$\dst \lim_{x \to {x}_{0 } } \frac{ln(1+f(x))}{f(x)}=1$

si

$\dst \lim_{x \to {x}_{ 0} } f(x)=0$

ya lo desarrolle cuando x tiende a 0, usando un cambio de variable y en efecto me da 1 pero como puedo demostrar esto.

[Brunow]

Re: Demostrar el limite con logaritmo

Suponiendo que conoces los desarrollos en series de Taylor, $Ln(1+x)=\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{(n+1)}.x^n}{n } para \left\vert{} x \right\vert{}<1$

En este caso, lo desarrollamos para $f(x)$ y divido la sumatoria por $f(x)$ ,

Obteniendo: $\frac{Ln(1+f(x))}{ f(x)}= \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{(n+1)}.f(x)^{n-1}}{n }$, que explicitamente resulta en,

$1-\frac{f(x)}{ 2}+\frac{f(x)^2}{3 }+...$

Que como veras, si el limite de $f(x)$ tiende a 0 cuando $x\to {x}_{0}$, entonces del desarrolo solo sobrevive el termino independiente, en este caso, 1. y Listo el Pollo

[Brunow]

Re: Demostrar el limite con logaritmo

Otra forma de verlo es usando el teorema de L'Hopital:

$\lim_{x \to {x}_{0}} \frac{Log(1+f(x))}{f(x)+1-1}=\lim_{u \to 1} \frac{Log(u)}{ u-1}=\lim_{u \to 1} \frac{\frac{1}{u } }{1 }=1$

[alejandrito29]

Re: Demostrar el limite con logaritmo

pero L'Hopital es para calcular no para demostrar. Taylor es una aproximacion CREO cuando la función varía poco en torno a un punto, por ejemplo en oscilaciones pequeñas. El autor pide demostrar no calcular CREO,

[Brunow]

Re: Demostrar el limite con logaritmo

alejandrito29 eso es mas o menos cierto, porque L'Hopital es un teorema, se puede aplicar siempre y cuando se cumplan las hipotesis del teorema (no lo se en este caso francamente, pero asumo que se cumplen) y Taylor si se trunca a un n finito es solo una aproximacion pero para n infinito, el desarrollo en series y la funcion son lo mismo dentro del radio de convergencia, en este caso, el radio debe ser $\left\vert{}f(x) \right\vert{}<1$ que se cumple comodamente porque $\lim_{x \to {x}_{0 } } f(x)=0$