2o ciclo Teorema del Residuo

[Brunow]

Buenas tengo el siguiente ejercicio:

Calcule las siguientes integrales aceptando que el recorrido de los contornos cerrados se realiza en sentido positivo:

$(a) \int _{\gamma }\frac{e^z}{z^2(-9+z^2)}dz$

$\gamma{:|z|=1}$

yo lo calculé como sigue:
primero vi que tenia tres polos, ${z}_{0}=0,{z}_{1}=3,{z}_{2}=-3$

pero dentro de region encerrada por la curva, el unico punto singular es ${z}_{0}=0$, entonces calcule el residuo ahi y me dio 1.
por lo tanto la integral da, usando el teorema del residuo: $(a) \int _{\gamma }\frac{e^z}{z^2(-9+z^2)}dz=2$$\pi i$

Mi duda es, ¿esta bien esto o calcule cualquier cosa?

Gracias y un abrazo

[polonio]

Re: Teorema del Residuo

Para mí que te has inventado el residuo en $z_0=0$

A mí el residuo me da $\dst -\frac{1}{9}$, pero lo he hecho muy rápido. Así que di cómo has calculado el residuo en el cero a ver dónde has fallado.

[Brunow]

Re: Teorema del Residuo

Use la formula: $\boxed{Res(h,z_0)=\displaystyle\lim_{z\to z_0}\displaystyle\frac{1}{(n-1)!}\displaystyle\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \{(z-z_0)^nh(z)\}}$

obtengo en este caso: $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}z } ( \frac{e^z}{z^2-9})=\frac{e^z(z^2-9)-2ze^z}{(z^2-9)^2}$

entonces $\displaystyle\lim_{z\to 0}\displaystyle\frac{1}{(2-1)!}\displaystyle\frac{d^{2-1}}{dz^{2-1}} \{(z-0)^2h(z)\}=$$\lim_{z\to 0} \frac{e^z(z^2-9)-2ze^z}{(z^2-9)^2}=\frac{-9}{-9 }=1$

Soy nuevo en esto del residuo asi que tenganme paciencia jaja, desde ya les agradezco

PD: $h(z)=\frac{e^z}{z^2-9}$ por si no quedo claro.

[carmelo]

Re: Teorema del Residuo

Hola Brunow:

Omitistes elevar al cuadrado el -9 del denominador.

Saludos
Carmelo

[polonio]

Re: Teorema del Residuo

Vaya, al final sabías hacerlo y te equivocaste en este pequeño detalle...

[Brunow]

Re: Teorema del Residuo

si jeje, pero como estoy aprendiendo no estaba seguro de lo que hacia gracias polonio