1r ciclo Recta tangente de y=x^x que pasa por el origen.

[_OJ_287_]

Buenas tardes. A ver si me hechais una mano. Yo me he quedado aqui:
Ecuacion de la recta:y=mx ( por que pasa por el (0,0))
m (pendiente)= $\frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d}x }={x}^{x}lnx+{x}^{x }$
Pero claro me ha salido una cosa ejje: $y={x}^{x+1 }lnx+{x}^{x+1 }$ ,menuda recta...


El libro no lo hace asi, esta es su solucion:

The tangent to
The tangent to
y = x^ x at x = a has equation
y = a^a + a^a (1 + ln a)(x − a).
This line passes through the origin if
0 = a^a[1−a(1+ln a)], that is, if (1+ln a)a = 1. Observe
that a = 1 solves this equation. Therefore the slope of
the line is 1^1(1 + ln 1) = 1, and the line is y = x.

No se que significa a ni de donde saca esa ecuacion. Tampoco se porque hace y=0. Pasa por el origen pero si y=0, x=0 tambien no? No obstante como ya no hay x por alguna extraña razon...
A partir de ahi, en lo de sacar x=y, no hay problema.

Muchas gracias y un saludo!

[angel relativamente]

Re: Recta tangente de y=x^x que pasa por el origen.

¡Hola!
Bien, vamos a analizar la respuesta del libro. En primer lugar, a tu derivada aún se le puede sacar factor común:

$$y'=x^x\cdot \left[ \ln(x)+1 \right]$$

No se que significa ``a´´

Lo dice claramente, $x = a$ . Pero estamos hablando de la x de la función $y=x^x$
¿Por qué utiliza este cambio de variable en principio absurdo? Pues imagino que para no confundir la x de la primera función con la de la recta.

En ese caso, sabiendo que $x=a$ , la derivada de nuestra función queda:

$$y'=a^a\cdot \left[ \ln(a)+1 \right]=m$$

Siendo m la pendiente de la recta. Bien, ahora utiliza la ecuación punto pendiente de la recta , despejada de esta forma:

$$\dst y=y_1 + m(x-x_1)$$

El punto $(x_1,y_1)$ es el punto de corte entre la recta y la función, por tanto cuando $x_1=a$ , $y_1=a^a$

$$\dst y=a^a + m(x-a)$$

Ahora sustituimos la derivada de la función por la pendiente (m) :

$$\dst y=a^a + a^a\cdot \left( \ln a+1 \right)(x-a)$$

Y he ahí la fórmula que te da el libro.

Tampoco se porque hace y=0. Pasa por el origen pero si y=0, x=0 tambien no?

En efecto, lo que hace a continuación es igualar tanto la x como la y a 0 y sacar factor común:

$0 = a^a \cdot \left[1-a(\ln a +1) \right]$

Y a partir de ahí dices que no hay problema

Si queda alguna duda pregunta.
¡Saludos!

[_OJ_287_]

Re: Recta tangente de y=x^x que pasa por el origen.

Ok, muy buena respuesta angelrelativamente, ya me he dado cuenta que lo he hecho del verres.
Gracias, un saludo

[Pepealej]

Re: Recta tangente de y=x^x que pasa por el origen.

Pero, ¿y entonces deja la respuesta en función de $a$? Intenté averiguar $a$ a partir de la ecuación de la recta e igualando x=y=0 (ya que pasa por el origen) pero acabo con una ecuación tal que así:

$a(lna+1)=1$

De ahí dije, ha pues vale: $a=1$, pero sólo lo hice por deducción ya que el logaritmo natural de 1 es 0, y así quedo con la solución correcta. En realidad es verdad, ya que la recta tangente resultas ser: $y=x$, pero mi pregunta es: ¿Cómo se procede para resolver una ecuación como esa?

Gracias

[angel relativamente]

Re: Recta tangente de y=x^x que pasa por el origen.

Parece una ecuación bastante difícil de resolver, a lo más que he llegado es a que:

$$\dst (e \cdot a)^a=e$$

Pero de ahí no saco nada, tendría que usar logaritmos y llego a lo mismo.

A ver si alguien nos ilumina, o es que no hay modo de solucionarla.

¡Saludos!

[Entro]

Re: Recta tangente de y=x^x que pasa por el origen.

Eso es una ecuación trascendental, así que no hay forma algebraica de resolverla. Los métodos de solución pueden ser por inspección (si es fácil), numéricos o gráficos.

[polonio]

Re: Recta tangente de y=x^x que pasa por el origen.

Eso es una ecuación trascendental, así que no hay forma algebraica de resolverla. Los métodos de solución pueden ser por inspección (si es fácil), numéricos o gráficos.

Será trascendente... no le dés tanta importancia (es decir, no la hagas trascendental) y perdón por el juego de palabras

[Entro]

Re: Recta tangente de y=x^x que pasa por el origen.

Cierto, es trascendente en castellano, una mala pasada de la traducción directa del inglés.