1r ciclo Funcion signo en identidades trigonometricas

[_OJ_287_]

Hola gente!
Haciendo ejercicios de poner funciones trigonometricas inversas en funcion de otras, me he dado cuenta de que no se de donde sale $sgnx$
Ejemplo: Exprese $arccotan(x)$ en funcion de $arcsin(x)$
Tenemos que $y=arccotan(x) <=> x=cotan(y)$
Bien, lo que he hecho es:

$arccotan(x)=arcsin(1/(1+{x}^{ 2} ))$, mirando las identidades, sin mas misterio.

Pero el libro al igualar el cosecante con el cotangente lo hace asi:

$csc(y)= sgn(x)\sqrt{1+{x}^{ 2} }$ (La x es cotan(y)).

Y ahi viene el problema, de donde saca la funcion signo esa.

A ver si me sale bien con el LATEX que estoy aprendiendo .
Un saludo!

[Ras]

Re: Funcion signo en identidades trigonometricas

si te he entendido bien creo q te refieres a esta:

$1+{ cotan}^{2} \alpha = {cosec}^{2 } \alpha$

Que viene de:

${\sin}^{ 2}\alpha + \cos{}^{ 2} \alpha=1$

Que nos viene del bueno de Pitágoras.

PD: mi primer LATEX que ilusion

[Al2000]

Re: Funcion signo en identidades trigonometricas

...
Pero el libro al igualar el cosecante con el cotangente lo hace asi:

$csc(y)= sgn(x)\sqrt{1+{x}^{ 2} }$ (La x es cotan(y)).

Y ahi viene el problema, de donde saca la funcion signo esa.
...

Fíjate que si la cotangente de un ángulo vale $x$, es decir, si $\cot \alpha = x$, entonces el signo de la cotangente va con el signo de $x$. Pero cuando usas las relaciones en el triángulo rectángulo para escribir que $\dst \csc \alpha = \sqrt {1+x^2}$, al elevar $x$ al cuadrado pierdes el signo, de manera que $\alpha = \cot ^{-1} x \neq \csc ^{-1} \sqrt {1+x^2}$.

Saludos,

Al

[_OJ_287_]

Re: Funcion signo en identidades trigonometricas

Ok, entonces siempre que se ponga algo en funcion de ``$\sqrt{{x}^{2 } }$´´ Hay que poner sgnx?
Gracias y un saludo.

[Al2000]

Re: Funcion signo en identidades trigonometricas

Yo me niego a formular una regla que diga como manejar la situación. Yo simplemente te invito a que te detengas un momento a pensar en lo que ocurre si elevas una cantidad al cuadrado (o cualquier potencia par) y luego extraes la raiz cuadrada. En el proceso recuperas la cantidad original, pero sin su signo.

Te pongo un ejemplo. Suponte que en un sistema de coordenadas XY trazas una recta que una el origen con el punto de coordenadas (a,a). El ángulo que forma esa recta con el eje X es de 45°. Puedes calcularlo con la inversa de las tres funciones trigonométricas fundamentales:

$$\tan^{-1} \frac a a = 45\°,\,\,\, \mathrm {sen}^{-1} \, \frac a {\sqrt {a^2+a^2}} = 45\°,\,\,\, \cos^{-1} \frac a {\sqrt {a^2+a^2}} = 45\°$$

pero en cambio para el punto simétrico (-a,a) tienes que

$$\tan^{-1} \frac a {-a} = -45\°,\,\,\, \mathrm {sen}^{-1} \, \frac a {\sqrt {(-a)^2+a^2}} = 45\°,\,\,\, \cos^{-1} \frac {-a} {\sqrt {(-a)^2+a^2}} = 135\°$$

(los ángulos tal como los devuelve la calculadora). Nota que el único resultado "correcto" es el del coseno inverso. La tangente inversa devuelve el ángulo correcto pero en el cuadrante equivocado.

¿Conclusión? Conoce las funciones trigonométricas. Conoce cómo se definen sus inversas.

Saludos,

Al