1r ciclo Hallar el volumen del solido

[Cristian]

Hola que tal tengo dudas con este ejercicio

Hallar el volumen del solido que se obtiene al hacer girar la region limitada por las curvas
$y=x^2$ y $x=y^2$ alrdedor de x=-1. Se debe solucionar mediante los metodos de capas cilindricas(casquetes) y arandelas(anillos).

Si despejo a x enterminos de y quedaria

$x= \sqrt{y}+1$ y $x=y^2+1$

Metodo de arandelas:

Se sabe que el intervalo de integracion es entre [0,1]

por lo que la integral queda

$\pi \int _{0}^{1} (\sqrt{y}+1)^2-(y^2+1)^2 dy$

y si lo resuelvo por casquetes me daria asi:

$2\pi \int _{0}^{1}y[ \sqrt{y}-y^2] dy$

La respuesta que me da en ambas integrales es diferente, pero yo creeria que deberia ser la misma asi que creo que tengo algo mal en el planteamiento de alguna de las dos integrales, de tal modo agradeceria que me colaboraran con la solucion de este ejercicio.

Muchas Gracias.

[Al2000]

Re: Hallar el volumen del solido

Arandelas (integrando $x$ primero): $\dst V = 2 \pi \int_{0}^{1}\!\! \int_{y^2}^{\sqrt y}\!\! (x+1)\,dx dy = \frac {29}{30} \pi \approx 3.0369$

Arandelas (integrando $y$ primero): $\dst V = 2 \pi \int_{0}^{1}\!\! \int_{x^2}^{\sqrt x}\!\! (x+1)\,dy dx = \frac {29}{30} \pi \approx 3.0369$

Cascarones cilíndricos: $\dst V = 2 \pi \int_{0}^{1}\!\! \left(\sqrt x - x^2\right)(x+1)\,dx = \frac {29}{30} \pi \approx 3.0369$

Observa que la tercera forma es el resultado de resolver la integral en $y$ en la segunda.

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: Hallar el volumen del solido

Disculpa, me quedó dando vueltas en la cabeza lo que querías decir con el método de las arandelas. Y de repente se hizo la luz y caí en cuenta: una arandela es una arandela

Entonces corrijo mi mensaje anterior y te pongo el cálculo como debe ser. Por fin entendí lo que estabas haciendo jeje

Anillos (integrando primero): $\dst V = 2 \pi \int_{0}^{1}\!\! \int_{y^2}^{\sqrt y}\!\! (x+1)\,dx dy = \frac {29}{30} \pi \approx 3.0369$

Arandelas: $\dst V = \pi \int_{0}^{1}\!\! \left[(\sqrt y + 1)^2 - (y^2 + 1)^2 \right]\,dy = \frac {29}{30} \pi \approx 3.0369$

Observa que esta integral es el resultado de hacer la integración en $x$ en la integral anterior.

Anillos (integrando primero): $\dst V = 2 \pi \int_{0}^{1}\!\! \int_{x^2}^{\sqrt x}\!\! (x+1)\,dy dx = \frac {29}{30} \pi \approx 3.0369$

Cascarones cilíndricos: $\dst V = 2 \pi \int_{0}^{1}\!\! \left(\sqrt x - x^2\right)(x+1)\,dx = \frac {29}{30} \pi \approx 3.0369$

Observa que esta forma es el resultado de resolver la integral en en la anterior.

Saludos,

Al

[Cristian]

Re: Hallar el volumen del solido

Si tenes toda la razon muchas gracias por tu ayuda la verdad me ayudo a aclarar bastantes dudas que tenia al respecto sobre la aplicacion de los diferentes metodos.