Secundaria Cálculo con errores

[Pepealej]

Hola amigos de LWDF. Actualmente estoy intentando aprender acerca de los errores en un dato ($3,2\pm 0,1 cm$, por ejemplo) y como operar cuando los tengo por en medio.

Mi questión es si alguien puede enseñarme como se combinan los errores cuando se operan con ellos; con sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias, etc.

Me refiero a lo siguiente, por ejemplo: $(5,01\pm0,01cm)\cdot (3,23\pm 0,03cm)$ ¿Entendeis lo que pido?

He buscado por internet pero me encuentro respuestas de lo más variopinto. Tengo idea más o menos de cada una de las operaciones, pero no estoy nada seguro de lo que se. Si alguien pudiera explicarme cómo se operan cada uno de ellos le estaría muy agradecido.

Muchas gracias

[Cat_in_a_box]

Re: Cálculo con errores

Hola Pepealej,

Como sabes, muchas veces no resulta posible medir directamente una variable, teniendo que obtenerse ésta mediante combinación de otras conocidas. En estos casos, es necesario determinar la incertidumbre en la variable desconocida a partir de las incertidumbres en las variables conocidas. A este proceso de cálculo se le conoce como propagación de errores. Existen diferentes formas para determinar la propagación de errores, pero para lo que tú quieres te bastará lo siguiente:

>Suma: supón que se miden las variables a y b obteniéndose los valores experimentales $a\pm \Delta a$ y $b\pm \Delta b$, donde $\Delta a, \quad \Delta b$ son los errores absolutos y se nos pide calcular el valor de $x=a+b$, es decir:

$x\pm \Delta x = (a\pm\Delta a)+(b\pm\Delta b)$

Pues bien, para sumar dos o más magnitudes afectadas de error, se suman las magnitudes y como error absoluto se toma la suma de los errores absolutos de las magnitudes, es decir:

$\boxed{x\pm\Delta x=(a+b)\pm(\Delta a +\Delta b)}$

Utilizando la misma notación, te pongo cómo hacer el resto de cálculos con incertidumbres:

>Resta: $\boxed{x\pm\Delta x=(a-b)\pm(\Delta a + \Delta b)}$

Ten en cuenta en este caso que si se restaran las incertidumbres y se diera el caso de que $\Delta a=\Delta b$ se obtendría $\Delta x=0$, lo que supondría un resultado absurdo, ya que de dos medidas inciertas se obtendría un valor preciso.

> Producto: sea b una magnitud afectada de error y a u número exacto (la incertidumbre de un número exacto es nula); si quieres calcular $x=ab$, para multiplicar una magnitud afectada de error por un número exacto, se multiplica el valor y el error absoluto de la magnitud por el número exacto, es decir:

$\boxed{x\pm\Delta x=ab\pm a\Delta b}$

En el caso de que las dos magnitudes estén afectadas de error, tendrías:

$\dst\frac{\Delta x}{x}=\dst\frac{\Delta a}{a}+\dst\frac{\Delta b}{b}$

Es la expresión final, por supuesto hay un método para llegar a ella que si te interesa te puede enseñar.

>Cociente: igual que antes, si se divide entre un número exacto:

$x\pm\Delta x= \dst\frac{b}{a}+\dst\frac{\Delta b}{a}$

La verdad es que así nos podríamos alargar bastante, para el caso de una potencia, una raíz, un seno, coseno, tangente...

Por tanto, un método bastante general Pero una manera bastante general es la siguiente. Si conocemos la incertidumbre en cierta medida, llamemosle , y queremos determinar la incertidumbre de la funcion expresandola como podemos utilizar la siguiente expresión:

$\Delta y =\left|\dst\frac{dy}{dx}\right|\Delta x$

Y a partir de ahí puedes sacar todo lo anterior y ¡mucho más!. Así que, si tuvieras varias variables, utilizarías también este método. Supón que tienes una función $z$ de varias variables, es decir : $z=f(x,y,z...)$ pues la incertidumbre la determinarías así:


$\boxed{\Delta z= \left|\dst\frac{\partial f }{\partial x}\right|\Delta x + \left|\frac{\partial f}{\partial y }\right|\Delta y +\left|\frac{\partial f}{\partial z }\right| ...}$

De esta expresión general pueden deducirse también todas las anteriores, como ya te he dicho. Si no conoces la notación $\frac{\partial }{\partial }$ es derivada parcial, es decir, una derivada como las que tú haces pero respecto a una variable y considerando las demás constantes. Si tienes alguna duda pregunta.

Me imagino que te servirá bastante esto, pero por si acaso, polonio en un post que escribí me envió un enlace con todo lo que hay que saber, al menos lo básico, sobre cálculo de errores y que está genial. Imagino que no habrá problema en ponerlo: http://www.esi2.us.es/DFA/FFII/Pract.../pra-anexo.pdf

Saludos,

[Pepealej]

Re: Cálculo con errores

Gracias Cat_in_a_box por tu respuesta.

La verdad es que sí que me interesa conocer como se calculan errores cuando tenemos una potencia, una raiz, y una razón trigonométrica. Estoy cursando BI (Bachillerato Internacional) y es una de las cosas que exigen, pero lo malo esque en el programa LOE no se dan. Si me pudieras explicar cómo se hacen en esas ocasiones te estaría muy agradecido.

Con respecto al cociente de dos valores con sus respectivos errores, me imagino que el error resultante se calculará de la misma forma que en el producto ¿no?

$\dst\frac{\Delta x}{x}=\dst\frac{\Delta a}{a}+\dst\frac{\Delta b}{b}$

También me ha llamado la atención la incertidumbre de una función derivada de otra función con incertidumbre. Le echaré un vistazo el documento pdf que adjuntaste y ya te comentaré
Pero, antes de nada, tengo una duda. ¿La expresión siguiente significa que multiplicas la derivada de la función inicial por su mismo error? No entiendo muy bien lo que significa:

$\Delta y =\left|\dst\frac{dy}{dx}\right|\Delta x$

Gracias por tu ayuda. Espero que puedas enseñarme como operar con errores en los casos citados. Saludos

[Cat_in_a_box]

Re: Cálculo con errores

Hola de nuevo Pepealej,

Con respecto al cociente de dos valores con sus respectivos errores, me imagino que el error resultante se calculará de la misma forma que en el producto ¿no?

Efectivamente, para calcular el cociente de dos magnitudes afectadas de error se hace lo mismo que cuando están multiplicando, si bien el proceso para llegar a la expresión que queda al final es algo diferente y ''costoso'', pero bueno, si tienes curiosidad por supuesto te lo puede enseñar. Continúo con el hilo de ayer en lo que respecta a los demás casos y te explico al final lo de las derivadas paraciales,¿de acuerdo?:

> Potencia de una magnitud afectada de error: pues bien, sea a una magnitud afectada de error, se pide calcular $x=a^m$, es decir: $x\pm \Delta x=\left(a\pm \Delta a\right)^{m}$

Para elevar una magnitud afectada de error a un exponente, se eleva la magnitud al exponente y como error relativo se toma el producto del exponente por el error relativo de la magnitud, es decir:

$\boxed{x\pm\Delta x=a^m\pm ma^m\dst\frac{\Delta a}{a}}$

> Radicación de una magnitud afectada de error: rápidamente, sería:

$\boxed{x\pm \Delta x=a^{\frac{1}{m}}\pm\dst\frac{a^{\frac{1}{m}}}{m}\left(\dst\frac{\Delta a}{a}\right)}$

Por supuesto ten en cuenta que: $a^{\frac{1}{m}}=\dst\sqrt[m]{a}$

>Error relativo de una función exponencial: si $x$ es una función exponencial, es decir, $x=\exp k = e^{k}$, al considerar las incertidumbres respectivas, tenemos que:

$x\pm\Delta x=\exp(k\pm\Delta k)=e^{k\pm\Delta k}=e^ke^{\pm \Delta k}$

Se puede demostrar que el error relativo de una función exponencial viene dado por,

$\boxed{\dst\frac{\Delta z}{x}=\Delta k}$

>Seno de un ángulo afectado de error: si $x=\sin\theta$ al introducir las incertidumbres respectivas, nos queda $x\pm\Delta x=\sin(\theta\pm\Delta \theta)$ de donde se puede demostrar que:

$\boxed{x\pm\Delta x=\sin(\theta\pm\Delta \theta)=\sin\theta\pm\Delta \theta |\cos\theta|}$

Además, mira que si $x=\sin\theta$ y $\Delta x=\Delta \theta\cos\theta$ con $\Delta \theta$ en radianes, al formar el cociente $\dst\frac{\Delta x}{x}$ se obtiene el error relativo:

$\dst\frac{\Delta x}{x}=\Delta \theta|\cot\theta|$

>Coseno de un ángulo afectado de error: lo mismo de antes sólo que un poco diferente las expresiones:

$\boxed{x\pm\Delta x)=\cos(\theta\pm\Delta\theta)=\cos\theta\pm\Delta\theta|\sin\theta|}$

y el error relativo: $\dst\frac{\Delta x}{x}=\Delta\theta|\tan\theta|$

>Tangente de un ángulo afecta de error: $\boxed{x\pm\Delta x=\tan(\theta\pm\Delta\theta)=\tan\theta\pm(1\pm\tan^2\theta)\Delta\theta}$

$\dst\frac{\Delta x}{x}=\Delta\theta\csc\theta\sec\theta$

Creo que con eso es más que suficiente...pues sí, lo que te decía ayer, como ves es bastante difícil acordarse de todo esto, por lo que se suele utilizar un método más general (a partir de él se pueden obtener todas las expresiones anteriores).

Te expongo un ejemplo para que esto resulte práctico y así veas qué rápido se calcula así y sin tener que memorizar fórmulas. Supón que queremos conocer el error de la tangente de un ángulo que hemos medido. Este ángulo es por ejemplo $\theta=45\pm 1 \º$.

Pues bien, queremos hallar la tangente de este ángulo, pero claro, el ángulo que hemos medido va acompañado de su error, pues dados los instrumentos que tenemos, puede ser el ángulo 44,45 ó 46 grados. Entonces, si $x=\tan \theta$, recordando la expresión que te he enseñado donde ponía ''tangente de un ángulo afectado por error'' tienes que:

$\boxed{x\pm\Delta x=\tan(\theta\pm\Delta\theta)=\tan\theta\pm(1\pm\tan^2\theta)\Delta\theta}$

Cuando trabajas con ángulos siempre en radianes (!). Así que tendríamos que:

$\theta=45\º=\dst\frac{\pi}{4}rad, \quad \Delta \theta=1\º=\dst\frac{\pi}{180}rad$

Haciendo uso de la expresión que tenemos arriba:

$\boxed{x\pm\Delta x=\tan(\theta\pm\Delta\theta)=\tan\theta\pm(1\pm\tan^2\theta)\Delta\theta}=\tan\left(\dst\frac{\pi}{4}\right) \pm \left[1+\tan^2\left(\dst\frac{\pi}{4}\right)\right]\cdot\dst\frac{\pi}{180}=$$\boxed{1\pm 0.03}$

Ahora bien, ¿y si no te acuerdas de esa expresión? Pues lo que te decía ayer, utilizas la forma general, según la cual:

Supón que tienes una función de varias variables, es decir : pues la incertidumbre la determinarías así:

En este caso sólo tienes una variable y tú función sería $z=f(\theta)=\tan\theta$, por tanto, la incertidumbre sería:

$\Delta z= \left|\dst\frac{\partial f}{\partial \theta}\right|\Delta\theta=\underbrace{(1+\tan^2\theta)\Delta\theta}_{\Delta z}=\left[1+\tan^2\left(\dst\frac{\pi}{4}\right)\right]\cdot\dst\frac{\pi}{180}=\boxed{0.03}$

Observa que llegas al mismo resultado (luego habría que calcular la tangente del ángulo, lógicamente, pero ya tienes el error). Creo que así se ve bastante bien, ¿no crees?. Espero que sea más que suficiente

Saludos,

[Pepealej]

Re: Cálculo con errores

Una vez más, muchas gracias Cat_on_a_box.

Me has ayudado mucho. La verdad es que sí, hay muchas fórmulas y prefiero comprender bien la última porque así si no me acuerdo de algún método uso el general. Pero, ahora tengo un par de dudas.

La primera es con respecto a la propagación de error en potencias y raíces. Tu dices que el error se calcula así (para potencias, no raíces):

$\Delta x=ma^m\dst\frac{\Delta a}{a}}$

He leido en varias páginas web y en un libro de BI que tengo he conseguido recientemente que no hay que multiplicarlo por $a^m$. Simplemente hay que multiplicar el exponente por el error relativo de la base, ¿no es así? Lo mismo ocurre con la raiz.

Y otra cosa. Sigo sin entender que es $\dst\frac{\partial f}{\partial \theta}$. La verdad es que conozco el concepto derivada y todo eso, pero no este tipo. ¿Me echas un cable? Gracias

Muchas gracias, me estás ayudando mucho!

[Cat_in_a_box]

Re: Cálculo con errores

Hola,

Sí, mirando en distinta bibliografía he visto lo mismo que has puesto tú. No sé, la verdad es que en este caso, lo que hice fue lo siguiente: si a es una magntiud afectada de error, se eleva al exponente y como error relativo se toma el producto del exponente por el error relativo de la magnitud, que es lo que te puse. Fíjate que el error relativo de la magntiud no es más que:

$\dst\frac{\Delta x}{x}=m\dst\frac{\Delta a}{a}\Rightarrow \Delta x=mx\dst\frac{\Delta a}{a}, \quad x=a^m \Rightarrow \boxed{\Delta x=ma^m\dst\frac{\Delta a}{a}}$

Entonces, quedaría: $\boxed{x\pm\Delta x=a^m\pm ma^m\dst\frac{\Delta a}{a}}$

Que es lo que te puse antes. Para el caso de la raíz, a mí lo que me enseñaron es que para extraer la raíz m de una magnitud afectada de error, se extrae la raíz de la magnitud y como error relativo se toma el producto del inverso del índice de la raíz por el error relativo de la magnitud. Como antes, éste sería:

$\dst\frac{\Delta x}{x}=m^{-1}\left(\dst\frac{\Delta a}{a}\right)\Rightarrow \Delta x=m^{-1}x\left(\dst\frac{\Delta a}{x}\right), \quad x=\sqrt [m] a= a^{\frac{1}{m}}\Rightarrow \boxed{\Delta x= \dst\frac{a^{\frac{1}{m}}}{m}\left(\dst\frac{\Delta a}{a}\right)}$

Y de ahí lo de: $\boxed{x\pm \Delta x=a^{\frac{1}{m}}\pm\dst\frac{a^{\frac{1}{m}}}{m}\left(\dst\frac{\Delta a}{a}\right)}$

De todas formas yo nunca utilizaría, sino el método general del que te he estado hablando.

Y otra cosa. Sigo sin entender que es . La verdad es que conozco el concepto derivada y todo eso, pero no este tipo. ¿Me echas un cable?

Bueno, pues no es más que una derivada corriente y moliente . Te habrás inflado a hacer derivadas, y seguro que no tienes ningún problema, entonces, ¿por qué tienes aquí problemas?. Veamos, lo que te he escrito es una derivada parcial, que así, grosso modo, no es más que una derivada normal en la que derivas con respecto a una variable, considerando a las demás constantes. En el caso que te he puesto, tienes una función del tipo:

$y=\tan\theta$

Pues bien, es una función trigonométrica que depende del ángulo $\theta$, así que puedes escribirlo como: $y=f(\theta)=\tan\theta$.

En este caso, sólo puedes derivar con respecto a una variable, que es $\theta$, y sería la derivada de la tangente, cuya fórmula te sabrás ya de memoria. Pues bien, este caso es sencillo, pero hay funciones de varias variables, es decir, del tipo: $z=f(a,b,c,d,e,f,g...)$. Así que para calcular el error, tienes que aplicar derivadas parciales (si no derivarías siempre lo mismo). Fíjate:

$z=f(a,b,c,d,e,f,g...), \quad \dst\frac{\partial f}{\partial a}$

La derivada parcial te indica que derives con respecto a la variable a dejando las demás constantes. Ese es el significado que a ti te interesa. Por ejemplo:

$z=a^2+3bc^2-2, \quad \dst\frac{\partial z}{\partial a}= 2a ,\quad \dst\frac{\partial z}{\partial b}=3c^2 , \quad \dst\frac{\partial z}{\partial c}=6bc$

¿Entiendes ya lo que derivar parcialmente? Claro está que la derivada de una constante es cero, como habrás visto. Espero que se te hayan aclarado las dudas, y de todos modos investigaré lo del error en los exponentes y raíces.

Saludos,

[Pepealej]

Re: Cálculo con errores

Aaaah, vale vale Ya lo entedí (lo del método general). La verdad es que es el método más útil de todos. Una pregunta, ¿es común que los resultados por este método varíen un poco? Te pongo un ejemplo. Si tengo que calcular el $sin\theta$ si $\theta=60^{\circ}\pm 5^{\circ}$ lo puedo hacer de dos formas:

1- $sin 60^{\circ}\approx 0,87$ | $sin 65^{\circ}\approx 0,90$ | $sin 55^{\circ}\approx 0,82$

La máxima distancia que encuentro es de 0,05; así que el resultado final es $sin \theta=0,87\pm 0,05$.

Ahora, si lo hago por el método general tengo $f(\theta )=sin \theta$:

2- $\Delta \theta =\frac{\partial f}{\partial \theta }\Delta \theta= cos 60^{\circ} \cdot \frac{\pi}{36 } \approx 0,04$

Tengo 0,01 de diferencia (realmente es es 0,003 o algo así) pero es diferencia. ¿Es normal esto?

Bueno, ahora volviendo al tema potencias y raíces, si encuentras algo dímelo Yo ya te digo, te puedo decir que en el libro Physics for the IB diploma (Standard and Higher Level) de Tim Kirk, concrétamente en la página 8, dice que es el producto de la potencia por el error relativo del valor original, y supongo que con raíces será igual; porque en definitiva son potencias

Venga, muchas gracias Cat

PD: Me dijiste si quería que me demostrases la expresión para hayar el error en los productos y cocientes. No creo que haga falta ¿no? Pues la fórmula sólo indica que el error final de un producto o cociente es la suma de sus errores relativos ¿no?

[Cat_in_a_box]

Re: Cálculo con errores

Hola,

Me alegro de que hayas entendido el método general, verás que ahora no tienes problemas en el cálculo de errores, o al menos el cálculo de errores que tú necesitas.

Sí, yo también hice de ese modo el error en la tangente de un ángulo en una práctica y la verdad es que me dijeron que no utilizara ese método...la razón...pues no lo sé, si te soy sincero. Al profesor no le pareció un buen método para expresar, o mejor dicho hallar, el error de la tangente y me señaló que el mejor método era el de las derivadas parciales que ya te he expuesto en mis anteriores posts. De todos modos la diferencia en muy pequeña, ya que en el método que pones tú, la mayor diferencia es 0.0468... y de la otra manera 0.0436, así que no hay casi diferencia. De todos modos, te sigo recomendando el método general.

Sí, me suena lo del libro del BI, la verdad es que según qué bibliografía utilices usan un método distinto, pero ya que viene en tu libro del BI, y te lo pedirán tal cual está, fíate mejor del libro...

PD: Me dijiste si quería que me demostrases la expresión para hallar el error en los productos y cocientes. No creo que haga falta ¿no? Pues la fórmula sólo indica que el error final de un producto o cociente es la suma de sus errores relativos ¿no?

Sí, claro, lo que te decía era que si querías te podía demostrar de dónde viene esa expresión. Tengo algo de tiempo, así que operemos tranquilamente:

Bueno, para demostrar la expresión $\dst\frac{\Delta x}{x}=\dst\frac{\Delta a}{a}+\dst\frac{\Delta b}{b}$ a partir del producto de dos magnitudes afectadas de error, se procede de la siguiente manera:

$x\pm\Delta x = (a\pm\Delta a)(b\pm\Delta b)=ab\pm b \Delta a \pm a\Delta b \pm \Delta a\Delta b$

Despejando $\Delta x$ y recodando que $x=ab$, queda:

$\Delta x=(b\Delta a + a \Delta b + \Delta a \Delta b)$

Dividiendo ambos miembros de esta expresión entre $x$ se tiene que:

$\dst\frac{\Delta x}{x}=\dst\frac{\Delta a}{a} +\dst\frac{\Delta b}{b}+\dst\frac{\Delta a\Delta b}{ab}$

Además, si como es de suponer las incertidumbres relativas son mucho menores que 1, es decir, $\Delta a \ll a, \quad \Delta b\ll b$, se puede despreciar el último término del segundo miembro y obtener finalmente:

$\boxed{\dst\frac{\Delta x}{x}=\dst\frac{\Delta a}{a} +\dst\frac{\Delta b}{b}}$

El cociente es algo más complejo, quiero decir, más elaborado, de demostrar, pero bueno, vamos a proceder del mismo modo para llegar a la expresión que utilizamos:

$x\pm\Delta x=\dst\frac{(a\pm\Delta a}{b\pm\Delta b}=(a\pm\Delta a)(b\pm \Delta b)^{-1}=(a\pm\Delta a)\left(1\pm\dst\frac{\Delta b}{b}\right)^{-1}b^{-1}$

Aquí, tendrías que desarollar por el teorema del binomio, teniendo lo siguiente:

$\left(1\pm\dst\frac{\Delta b}{b}\right)^{-1}=1\pm\dst\frac{\Delta b}{b}\pm\dst\frac{(\Delta b)^2}{b^2}\pm ...$

Sustituyendo el desarrollo en la expresión anterior, queda:

$x\pm\Delta x=(a\pm\Delta a)b^{-1}\left[1\pm\dst\frac{\Delta b}{b}\pm\dst\frac{(\Delta b)^2}{b^2}\pm ...\right]$

Suponiendo que $\dst\frac{\Delta b}{b}\ll 1$ entonces $\dst\frac{(\Delta b)^2}{b^2}\ll \dst\frac{\Delta b}{b}$ y así se pueden despreciar los términos de orden superior, quedando:

$x\pm\Delta x=(a\pm \Delta a)b^{-1}\left(1\pm\dst\frac{\Delta b}{b}\right)=\dst\frac{a}{b}+\dst\frac{1}{b}\left(\Delta a +\dst\frac{a}{b}\Delta b + \dst\frac{\Delta a \Delta b}{b}\right)$

Además, al despejar $\Delta x$ y recordando que $x=\dst\frac{x}{a}$ y no considerando el tercer término dentro del paréntesis, tenemos que:

$\Delta x=\left(\Delta a +\dst\frac{a}{b}\Delta b\right)b^{-1}$

Obteniendo, finalmente:

$\boxed{\dst\frac{\Delta x}{x}=\dst\frac{\Delta a}{a}+\dst\frac{\Delta b}{b}}$

Pues era eso, pero como ves, no te va a servir para nada, ¡seamos un poco pragmáticos!. Espero haberte ayudado y resuelto en la medida de lo posible tus dudas sobre el cálculo de errores.

Saludos,

PD: Espero que se diera ayer bien (6 de julio) si tenías alguna ANTICIPADA

[Pepealej]

Re: Cálculo con errores

!! Vaya respuesta Muchísimas gracias! No se cómo agradecértelo Si necesitas algo no tienes más que pedírmelo. Te has currado muchísimo tus respuestas Muchas gracias de verdad!

PD: Se me coló el halla jaja!!

[Pepealej]

Re: Cálculo con errores

Cat, una duda que me surgió hace poco. Si yo tengo que calcular $\sqrt{x}$, siendo $x=4\pm1$, puedo hacerlo probando o por el método general.

PROBANDO:

$\sqrt{5}=2,236$
$\sqrt{3}=1,732$

Así que puedo decir que $\sqrt{4\pm 1}=2,00 \pm0,27$

MÉTODO GENERAL:

Si hago la derivada parcial de la función raiz y hago el proceso para sacar el error absoluto del resultado final tengo:

$\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot 1=0,35$

¿Qué ocurre aquí? La diferencia es bastante grande.

Gracias

[Cat_in_a_box]

Re: Cálculo con errores

Hola Pepe,

Si hago la derivada parcial de la función raiz y hago el proceso para sacar el error absoluto del resultado final tengo:

El problema es que te has confundido al hacer el cálculo y has puesto un 2 donde en realidad es un 4

Fíjate que si $y=f(x)=\sqrt{x}\quad x=4\pm 1$ entonces:

$\Delta y = \left|\dst\frac{\partial f}{\partial x}\right|\Delta x= \left|\dst\frac{1}{2\sqrt{\bold{4}}}\right|\cdot 1 = 0.25\cdot 1 = \boxed{0.25}$

Fíjate que calculándolo por el otro método que te enseñé, sale exáctamente lo mismo:

$x\pm \Delta x=a^{\frac{1}{m}}\pm\dst\frac{a^{\frac{1}{m}}}{m}\left(\dst\frac{\Delta a}{a}\right)\Rightarrow x\pm\Delta x= 4^{\frac{1}{2}}\pm \dst\frac{4^{\frac{1}{2}}}{2}\cdot\dst\frac{1}{4}= \boxed{2\pm 0.25}$

El problema era ese 2 que se te había colado.

Saludos,

[Pepealej]

Re: Cálculo con errores

Ui, es verdad Jaja! Gracias